热门试卷

解：（1），令f‘（x）=0，得x=ea，当x∈（0，ea）时，f'（x）＞0

函数f（x）为增函数，当x∈（ea，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数，

故f（x）有极大值为f（ea）=e-a，（5分）

（2）由（1）知，令a=1，

则，

故只需，所以得-1＜k≤1（10分）

（3）由（1）知f（x）≤e-a，令a=0，则有lnx≤x-1，

∵n∈N，n≥2∴lnn2≤n2-1，

∴，

故

=

==（14分）

解：对f（x）求导f′（x）=ex ①

（I）a=，f′（x）=0则4x2-8x+3=0解得x1=，x2=

综合①，可知

所以，x1=是极小值点，x2=是极大值点．

（II）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0，ax2-2ax+1≥0

在R上恒成立，因为△=4a2-4a≤0由此并结a＞0，0＜a≤1

解：（Ⅰ）由f‘（x）=3x2-4x-4=（3x+2）（x-2）=0，得或2．

则x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

则f（x）的单调递增区间为，（2，+∞），单调递减区间为．

（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a），

则g'（x）=3x2-4x-4-（3a2-4a-4），记g'（x）=h（x），

因为当x＞2时，h'（x）=6x-4＞0，则h（x）在（2，+∞）单调递增，

又因为g'（a）=h（a）=0，

所以当2＜x＜a时，g'（x）＜0，当x＞a时，g'（x）＞0，

所以g（x）在（2，a）递减，在（a，+∞）递增，又x≠a，

所以g（x）＞g（a）=0成立，所以命题得证．

（Ⅲ）因为f（x）的单调递增区间为，（2，+∞），单调递减区间为，且，

所以函数f（x）的零点x0只有一个，且x0＞2，且对（-∞，x0）内的任意实数x，都有f（x）＜0，

因为f（α）＞0=f（x0），所以α＞x0＞2，所以f'（α）=（3α+2）（α-2）＞0，

在（Ⅱ）的结论中，取a=α，x=x0，

则有f（α）+f'（a）（x0-α）＜f（x0）=0，①

由，得f（α）+f'（α）（β-α）=0，②

构造函数F（x）=f（α）+f'（α）（x-α），

则由①得F（x0）＜0，由②得F（β）=0，所以F（x0）＜F（β），

因为f'（α）＞0，所以F′（x）=f'（α）＞0，所以F（x）=f（α）+f'（α）（x-α）为增函数，

所以x0＜β，

因为F（α）=f（a）＞0=F（β），所以β＜α，

综上得x0＜β＜α．