热门试卷

解：（1）解：当x＞0时，f（x）=ex-1在（0，+∞）单调递增，且f（x）＞0；

当x≤0时，f‘（x）=x2+2mx．

①若m=0，f′（x）=x2≥0，f（x）=在（-∞，0）上单调递增，且．

又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函数，无极植；

②若m＜0，f′（x）=x（x+2m）＞0，则f（x）=在（-∞，0）单调递增，同①可知f（x）在R上也是增函数，无极值；（4分）

③若m＞0，f（x）在（-∞，-2m）上单调递增，在（-2m，0）单调递减，

又f（x）在（0，+∞）上递增，故f（x）有极小值f（0）=0，（6分）

（2）解：当x＞0时，先比较ex-1与ln（x+1）的大小，

设h（x）=ex-1-ln（x+1）（x＞0）

h′（x）=恒成立

∴h（x）在（0，+∞）是增函数，h（x）＞h（0）=0

∴ex-1-ln（x+1）＞0即ex-1＞ln（x+1）

也就是f（x）＞g（x），对任意x＞0成立．

故当x1-x2＞0时，f（x1-x2）＞g（x1-x2）（10分）

再比较g（x1-x2）=ln（x1-x2+1）与g（x1）-g（x2）=ln（x1+1）-ln（x2+1）的大小．

g（x1-x2）-[g（x1）-g（x2）]

=ln（x1-x2+1）-ln（x1+1）+ln（x2+1）

=

∴g（x1-x2）＞g（x1）-g（x2）

∴f（x1-x2）＞g（x1-x2）＞g（x1）-g（x2）．（13分）

（1）解：∵f（x）=x3+x2+ax+1，

∴f′（x）=2x2+2x+a，由题意知方程2x2+2x+a=0在（-1，0）上有两不等实根，

设g（x）=2x2+2x+a，其图象的对称轴为直线x=-，

故有，解得0＜a＜．

（2）证明：由题意知x2是方程2x2+2x+a=0的大根，从而x2∈（-，0），

由于0＜a＜，∴ax2＞x2，

∴f（x2）=x23+x22+ax2+1＞x23+x22+x2+1．

设h（x）=x3+x2+x+1，x∈（-，0），

h′（x）=2（x+）2+＞0，

∴h（x）在（-，0）递增，

∴h（x）＞h（-）=，即f（x2）＞成立．

解：（1）函数f（x）=+的导数f′（x）=-，

由f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，

即1-=0，lna=36，a=e36，

且f（1）=0+=6．

又令f′（x）=0，则由于x＞0，则-=0，

令h（x）=-，则h（x）在（0，e）上单调递减，且h（1）=0，

故只有一个极值，f′（x）在（0，1）上递增，（1，e）上递减，

故为极大值6．

（2）若x≥1时，不等式（x+1）f（x）≤5x+k+5恒成立，

等价为若x≥1时，不等式f（x）≤+5恒成立，

由（1）得，f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值6．

则只需在x=1处f（x）的最大值不大于+5在x=1处的最小值即可（k＞0）．．

故6≤5+，即k≥2．

故实数k的取值范围是[2，+∞）．