- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
求函数
正确答案
解：由题可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）
令f′（x）＞0得x＜-1或x＞
∵x∈（0，+∞）
∴函数的单调递增区间为（
∴f（x）在x=
解析
解：由题可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）
令f′（x）＞0得x＜-1或x＞
∵x∈（0，+∞）
∴函数的单调递增区间为（
∴f（x）在x=
已知函数f（x）=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2 对称．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）无极值，求c的取值范围．
正确答案
解：（I）f′（x）=3x2-2bx+2c，
∵导函数f′（x）的图象关于直线x=2 对称，
∴
（II）由（I）可知：f（x）=x3-6x2+2cx，
f′（x）=3x2-12x+2c=3（x-2）2+2c-12，
当2c-12≥0，即c≥6时，f′（x）≥0，此时函数f（x）无极值．
解析
解：（I）f′（x）=3x2-2bx+2c，
∵导函数f′（x）的图象关于直线x=2 对称，
∴
（II）由（I）可知：f（x）=x3-6x2+2cx，
f′（x）=3x2-12x+2c=3（x-2）2+2c-12，
当2c-12≥0，即c≥6时，f′（x）≥0，此时函数f（x）无极值．
若x=1是函数f（x）=
正确答案
-6
解析
解：f′（x）=
若x=1是函数f（x）=
则x=1是方程x2+2x-a=0的根，
∴1+2-a=0，解得：a=3，
∴f（x）=
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）极大值=f（-3）=-6，
故答案为：-6．
有下列命题：
①x=0是函数y=x3+1的极值点；
②三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2-3ac＞0；
③奇函数f（x）=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在区间（4，+∞）上是递增的；
④曲线y=ex在x=1处的切线方程为y=ex．
其中真命题的序号是______．
正确答案
②③④
解析
解：①y′=3x2≥0，无极值点，故①错误；
②f′（x）=3ax2+2bx+c=0有解，需满足：b2-3ac＞，故②正确；
③f′（x）=3mx2+2（m-1）x+48（m-2），当x＞4时，f′（x）＞0，故③正确；
④k=y′=ex|x=1=e，切点为（1，e），∴切线方程是y=ex，故④正确；
故答案为：②③④．
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
正确答案
解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了
要耗油
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
依题意得
令h‘（x）=0，得x=80．
当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．
∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．
因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，
所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
解析
解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了
要耗油
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
依题意得
令h‘（x）=0，得x=80．
当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．
∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．
因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，
所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
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