- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间与极值．
正确答案
解：（Ⅰ）由
当a=1时，f（x）=
f（2）=
f'（2）=-
用点斜式得切线方程为：y-
（Ⅱ）由
f'（x）=
当a＜0时，由-2（ax+1）（x-a）＞0，解得：
由-2（ax+1）（x-a）＜0，解得：x＜a或x＞-
∴递减区间是（-∞，a），（-
极小值是f（a）=1，极大值是f（-
解析
解：（Ⅰ）由
当a=1时，f（x）=
f（2）=
f'（2）=-
用点斜式得切线方程为：y-
（Ⅱ）由
f'（x）=
当a＜0时，由-2（ax+1）（x-a）＞0，解得：
由-2（ax+1）（x-a）＜0，解得：x＜a或x＞-
∴递减区间是（-∞，a），（-
极小值是f（a）=1，极大值是f（-
已知函数f（x）=x3-px2-qx的图象与x轴切于（1，0）点，则f（x）的极大值、极小值分别为______．
正确答案
解析
解：求导函数，可得f′（x）=3x2-2px-q
由函数f（x）=x3-px2-qx的图象与x轴切于点（1，0）得：p+q=1，3-2p-q=0，解出p=2，q=-1
则函数f（x）=x3-2x2+x，f′（x）=3x2-4x+1
令f′（x）=0得到：x=1或x=
①当x≤
②当x≥1时，f′（x）＞0，f（x）函数单调增，极值为f（1）=0
故比较大小得：f（x）的极大值为
故答案为：
正确答案
解析
解：∵f′（x）=3ax2+2bx+c，
∴y=g（x）=x•f′（x）=3ax3+2bx2+cx，
由图可知，
解得b=0，c=-12a．
∴g（x）=3ax3-12ax，由g′（x）=9ax2-12a＞0，结合图象可知，a＞0．
∴f（x）=ax3-12ax+d，
f′（x）=3ax2-12a=3a（x+2）（x-2），由f′（x）=0得x=-2或x=2；
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；
令f′（x）＜0得-2＜x＜2；
∴当x=-2时，f（x）取到极大值，当x=2时，f（x）取到极小值．
故选D．
已知函数f（x）=
（Ⅰ）函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）-f（x2）＞x2-x1，求实数a的范围．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f（x）=
∴f′（x）=x-a+
∵函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，
∴2-a+
∴a=5；
（Ⅱ）f′（x）=
∴x=1或a-1．
a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a-1）上单调递减，在（a-1，+∞）上递增；
a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
1＜a＜2时，f（x）在（0，a-1）上单调递增，在（a-1，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增；
a≤1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增．
（Ⅲ）∵f（x1）-f（x2）＞x2-x1，
∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，
令F（x）=f（x）+x，则对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）-f（x2）＞x2-x1，等价于F（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵F（x）=f（x）+x，
∴F′（x）=
令g（x）=x2-（a-1）x+a-1
a-1＜0时，F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（0）≥0，∴a≥1，不成立；
a-1≥0，则g（
综上1≤a≤5．
解析
解：（Ⅰ）∵f（x）=
∴f′（x）=x-a+
∵函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，
∴2-a+
∴a=5；
（Ⅱ）f′（x）=
∴x=1或a-1．
a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a-1）上单调递减，在（a-1，+∞）上递增；
a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
1＜a＜2时，f（x）在（0，a-1）上单调递增，在（a-1，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增；
a≤1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增．
（Ⅲ）∵f（x1）-f（x2）＞x2-x1，
∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，
令F（x）=f（x）+x，则对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）-f（x2）＞x2-x1，等价于F（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵F（x）=f（x）+x，
∴F′（x）=
令g（x）=x2-（a-1）x+a-1
a-1＜0时，F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（0）≥0，∴a≥1，不成立；
a-1≥0，则g（
综上1≤a≤5．
已知函数f（x）=asinx-x+b在
（I）求a的值；
（II）对于一切
（III）若函数f（x）在区间
正确答案
解：（I）∵f（x）=asinx-x+b，∴f‘（x）=acosx-1．
∵函数f（x）=asinx-x+b在
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切
记g（x）=x+cosx-sinx，∴
∵
∴g′（x）≤0，∴g（x）在[0，
∴g（x）max=g（0）=1，
∴b＞1．…（8分）
（III）求导函数可得f′（x）=2cosx-1，
∵函数f（x）在区间
∴
即
∴m∈（0，1]．…（12分）
解析
解：（I）∵f（x）=asinx-x+b，∴f‘（x）=acosx-1．
∵函数f（x）=asinx-x+b在
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切
记g（x）=x+cosx-sinx，∴
∵
∴g′（x）≤0，∴g（x）在[0，
∴g（x）max=g（0）=1，
∴b＞1．…（8分）
（III）求导函数可得f′（x）=2cosx-1，
∵函数f（x）在区间
∴
即
∴m∈（0，1]．…（12分）
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