- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）
A[
B[
C[
D[
正确答案
解析
由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax-a的下方，
∵g′（x）=ex（2x-1）+2ex=ex（2x+1），
∴当x＜-
∴当x=-
当x=0时，g（0）=-1，当x=1时，g（1）=e＞0，
直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故-a＞g（0）=-1且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得
故选：D
正确答案
解析
解：由导函数y=f′（x）的图象
在x3处，左侧的导数符号为“+”，右侧的导数符号为“-”；
故函数f（x）在x2处取得极小值，在x3处取得极大值．
∴函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点．
故选D．
设S（x）=（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2，其中x1，x2，x3，…，xn均为已知常数．
（Ⅰ）当x取何值时，S（x）取得极小值；
（Ⅱ）已知当n=2时，S（x）≥
正确答案
解：（Ⅰ）∵S（x）=（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2，
∴S′（x）=2[nx-（x1+x2+…+xn），
令S′（x）=0，则x=
∴函数在（-∞，
则当x=
（Ⅱ）∵当n=2时，S（x）≥
∴S（
化简得（x1-x2）2≥1，即|x1-x2|≥1，
由f（x）=a（x-1）+（x2-x）ex得，f（|x1-x2|）≥0恒成立，
即x≥1时，f（x）≥0恒成立，
∵f（x）=a（x-1）+（x2-x）ex，
∴f′（x）=a+（x2+x-1）ex，
令h（x）=f′（x），则h′（x）=ex（x2+3x），
∴x≥1时，恒有h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，+∞）单调递增，则h（x）=f′（x）≥f′（1）=a+e，
①当a≥-e时，则f′（1）=a+e≥0，即h（x）=f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，+∞）单调递增，则f（x）≥f（1）=0恒成立，符合条件；
②当a＜-e时，令h（x0）=f′（x0）=0，且x0＞1，
∴函数f（x）在区间[1，x0）上单调递减，f（x）≤f（1）=0不符合条件，
综上得，a的取值范围是[-e，+∞）．
解析
解：（Ⅰ）∵S（x）=（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2，
∴S′（x）=2[nx-（x1+x2+…+xn），
令S′（x）=0，则x=
∴函数在（-∞，
则当x=
（Ⅱ）∵当n=2时，S（x）≥
∴S（
化简得（x1-x2）2≥1，即|x1-x2|≥1，
由f（x）=a（x-1）+（x2-x）ex得，f（|x1-x2|）≥0恒成立，
即x≥1时，f（x）≥0恒成立，
∵f（x）=a（x-1）+（x2-x）ex，
∴f′（x）=a+（x2+x-1）ex，
令h（x）=f′（x），则h′（x）=ex（x2+3x），
∴x≥1时，恒有h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，+∞）单调递增，则h（x）=f′（x）≥f′（1）=a+e，
①当a≥-e时，则f′（1）=a+e≥0，即h（x）=f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，+∞）单调递增，则f（x）≥f（1）=0恒成立，符合条件；
②当a＜-e时，令h（x0）=f′（x0）=0，且x0＞1，
∴函数f（x）在区间[1，x0）上单调递减，f（x）≤f（1）=0不符合条件，
综上得，a的取值范围是[-e，+∞）．
函数f（x）=
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）已知不等式f′（x）＞x2+x-a对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）f′（x）=ax2-x+a，
由于函数f（x）在x=2时取得极值，
∴f′（2）=0．
即 4a-2+a=0，解得
此时f′（x）在x=2两边异号，f（x）在x=2处取得极值．
（Ⅱ） 方法一：由题设知：ax2-x+a＞x2+x-a对任意a∈（0，+∞）都成立．
即a（x2+2）-x2-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立．
设 g（a）=a（x2+2）-x2-2x（a∈R），则对任意x∈R，g（a）为单调递增函数（a∈R），
∴对任意a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0，
即-x2-2x≥0，∴-2≤x≤0，
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．
方法二：由题设知：ax2-x+a＞x2+x-a，对任意a∈（0，+∞）都成立，
即a（x2+2）-x2-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立
于是
∴-2≤x≤0，于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．
解析
解：（Ⅰ）f′（x）=ax2-x+a，
由于函数f（x）在x=2时取得极值，
∴f′（2）=0．
即 4a-2+a=0，解得
此时f′（x）在x=2两边异号，f（x）在x=2处取得极值．
（Ⅱ） 方法一：由题设知：ax2-x+a＞x2+x-a对任意a∈（0，+∞）都成立．
即a（x2+2）-x2-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立．
设 g（a）=a（x2+2）-x2-2x（a∈R），则对任意x∈R，g（a）为单调递增函数（a∈R），
∴对任意a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0，
即-x2-2x≥0，∴-2≤x≤0，
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．
方法二：由题设知：ax2-x+a＞x2+x-a，对任意a∈（0，+∞）都成立，
即a（x2+2）-x2-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立
于是
∴-2≤x≤0，于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．
奇函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=
正确答案
解析
解：f′（x）=3x2+2bx+c，依题意得f′（
化简得ac+2b=-3，
故选B
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