函数的极值与导数的关系
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题型：单选题

单选题

设函数f（x）=x3-4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（　　）

Ax1＞-1

Bx2＜0

Cx2＞0

Dx3＞2

正确答案

解析

解：∵函数f （x）=x3-4x+a，0＜a＜2，

∴f′（x）=3x2-4．

令f′（x）=0，可得 x=．

∵当x＜-时，f′（x）＞0；

在（-，）上，f′（x）＜0；

在（，+∞）上，f′（x）＞0．

故函数在（-∞，-）上是增函数，在（-，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．

故f（-）是极大值，f（）是极小值．

再由f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得 x1＜-，-＜x2＜，x3＞．

根据f（0）=a＞0，且f（）=a-＜0，可得＞x2＞0．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+（4a-2）lnx（a∈R）．

（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）当a≤时，讨论f（x）的单调区间．

正确答案

解：（Ⅰ），

∵f（x）在x=3处取得极值，∴f‘（3）=0，∴a=2，

∴，∴，

∴，

故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，

即4x-2y-13=0．

（Ⅱ）

当时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当，即时，f（x）在（0，2a-1）上是增函数，

在（2a-1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；

当，即时，f（x）在（0，2）上是减函数，

在（2，+∞）上是增函数．

解析

解：（Ⅰ），

∵f（x）在x=3处取得极值，∴f‘（3）=0，∴a=2，

∴，∴，

∴，

故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，

即4x-2y-13=0．

（Ⅱ）

当时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当，即时，f（x）在（0，2a-1）上是增函数，

在（2a-1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；

当，即时，f（x）在（0，2）上是减函数，

在（2，+∞）上是增函数．

题型：填空题

填空题

对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：

（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；

（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n；

（3）若x0∈（a，b），在x0左侧附近f′（x）＜0，且f′（x0）=0，则x0是f（x）的极大值点；

（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，

其中正确命题的序号是______．

正确答案

（4）

解析

解：对于定义在区间[a，b]上的函数f（x），给出下列命题：

（1）若f（x）在多处取得极大值，那么f（x）的最大值不一定是所有极大值中最大的一个值，也可能是区间端点处的函数值，因此不正确；

（2）若函数f（x）的极大值为m，极小值为n，那么m＞n，m=n，m＜n都有可能，因此不正确；

（3）若x0∈（a，b），在x0左侧附近f′（x）＜0，且f′（x0）=0，还必须要求在x0右侧附近f′（x）＞0则x0是f（x）的极大值点，因此不正确；

（4）若f′（x）在[a，b]上恒为正，则f（x）在[a，b]上为增函数，正确．

综上可得：只有（4）正确．

故答案为：（4）．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x（lnx-2ax），a∈R．

（1）若f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立，求a的最小值；

（2）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵0＜x＜1，

∴f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立

⇔x（lnx-2ax）≤2x（0＜x＜1）恒成立

⇔lnx-2ax≤2（0＜x＜1）恒成立

⇔2a≥恒成立，

令g（x）=（0＜x＜1），

则g′（x）=，（0＜x＜1），

∵0＜x＜1，

∴g′（x）＞0恒成立，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，

∴2a≥g（1）=-2，

∴a≥-1，a的最小值为-1；

（2）f（x）=x（lnx-2ax）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=lnx-2ax+x（-2a）=lnx-4ax+1，

∵函数f（x）有2个极值点，

∴f′（x）=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根，

当a＞0时，令g（x）=lnx-4ax+1，则g′（x）=-4a=，

由g′（x）＞0得0＜x＜，由g′（x）＜0解得：x＞，

∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

∴g（x）最大值=g（）=-ln（4a）＞0，

∴0＜4a＜1，0＜a＜，

∴a的范围是（0，）．

解析

解：（1）∵0＜x＜1，

∴f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立

⇔x（lnx-2ax）≤2x（0＜x＜1）恒成立

⇔lnx-2ax≤2（0＜x＜1）恒成立

⇔2a≥恒成立，

令g（x）=（0＜x＜1），

则g′（x）=，（0＜x＜1），

∵0＜x＜1，

∴g′（x）＞0恒成立，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，

∴2a≥g（1）=-2，

∴a≥-1，a的最小值为-1；

（2）f（x）=x（lnx-2ax）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=lnx-2ax+x（-2a）=lnx-4ax+1，

∵函数f（x）有2个极值点，

∴f′（x）=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根，

当a＞0时，令g（x）=lnx-4ax+1，则g′（x）=-4a=，

由g′（x）＞0得0＜x＜，由g′（x）＜0解得：x＞，

∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

∴g（x）最大值=g（）=-ln（4a）＞0，

∴0＜4a＜1，0＜a＜，

∴a的范围是（0，）．

题型：单选题

单选题

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在上的零点个数为（　　）

正确答案

解析

解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．

所以当x∈[1，2]时2-x∈[0，1]，

f（x）=f（2-x）=（2-x）3，

当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx），

g′（x）=cos（πx）-πxsin（πx）；

当x∈[]时，g（x）=-xcosπx，

g′（x）=πxsin（πx）-cos（πx）．

注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，

且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，

f（-）=f（）=，f（）=（2-）3=，

g（-）=g（）=g（）=0，g（1）=1，

g′（1）=1＞0，

根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，

函数h（x）除了0、1这两个零点之外，

分别在区间[-，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．

共有6个零点，

故选B

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