热门试卷

解：（1）f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）…1

f′（2）=-3         …2

（2）令f‘（x）=0，即（x+1）（x-3）=0     解得x=-1或x=3…4

列表

所以，函数f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上是增函数；

在（-1，3）上是减函数   …10

（3）由（2）可得

当x=-1时，函数f（x）取得极大值，且极大值为；当x=3时，函数f（x）取得极小值，且极小值为8   …12

解：（I）函数f（x）的定义域是（0，+∞）

∵f（x）=x2+（a-2）x-alnx，

∴f′（x）=2x+（a-2）-=

∵x=3是函数y=f（x）的极值点，

∴f′（3）=0，即=0∴a=-6

检验：当a=-6时，f（x）=x2-8x+6lnx，f′（x）=2x-8+=

∴x∈（1，3）时，f′（x）＜0，∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，此时，x=3是函数y=f（x）的极小值点．

∴当x=3是函数的极值点时，a=-6

（II）当a=-2时，f（x）=x2-4x+2lnx（x＞0），

∴f′（x）=2（x+-2）≥0

∴曲线f（x）在定义域内的任意一点处的切线的斜率都大于等于0．

∴曲线f（x）可以与x-y+n=0中的一条直线相切

此时切线的斜率是1，

设切点坐标为（x0，f（x0）），则由f′（x0）=1解得x0=或2．

∴切点坐标为（，-2-2ln2），或（2，-4+ln2），

切线方程为x-y-2-2ln2=0或x-y-6+2ln2=0

（III）方程f（x）=（3a-2）x+alnx可化为x2+（a-2）x-alnx=（3a-2）x+alnx

即x2-2ax=2alnx

令函数g（x）=x2-2ax，h（x）=2alnx

∴函数g（x）的图象与函数h（x）的图象当x＞0时有唯一交点．

而当a＞0时，g（x）图象开口向上，对称轴在y轴右侧，且过原点，

h（x）图象在y轴右侧，为过（1，0）点的增函数，两函数的图象一定有2个交点．

∴不在正实数a，使得关于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一实数解

（Ⅰ）解：∵f′（x）=m+，

m≥0时，f′（x）＞0，该函数无极值

m＜0时，函数在x=-时，函数取得极大值-1-ln（-m），极小值不存在

（Ⅱ）证：由（Ⅰ）得：m＜0时，f（x）max=-1-ln（-m），

∴即证-1-ln（-m）≥2-3，

令，

∴m=2-t2，

即证e2-2t≥2-t2

∵-2≤m＜0，

∴-≤t≤，

令y1=e2-2t，y2=2-t2，

当t=时，y1 最小，y1 min=＞0，

当t＞0时，y2递减，t=时，y2=0，

∴y1≥y2，

∴f（x）最大值≥2-3．

解：对函数f（x）=x3-3x求导数，得f‘（x）=3x2-3

令f'（x）=0，得x=±1，

∵x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0；-1＜x＜1时，f'（x）＞0

∴函数f（x）的增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）；减区间为（-1，1）

由此可得函数f（x）的极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2

∵直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个交点，

∴常数a应该大于函数f（x）的极小值且小于函数f（x）的极大值，

即常数a取值范围是（-2，2）．