热门试卷

解：（Ⅰ）

由条件得：方程x2-2nx+a=0必有两根，

∵两根之和为2n＞0，两根之积为a＞0

∴两根必为正根

则△=4n2-4a＞0，

得a＜n2，对一切正整数n都成立

所以，a的取值范围是0＜a＜1．

（Ⅱ）为函数的极小值

设，（x≥1），则

因为x≥1，所以，得g‘（x）＜0，

所以g（x）在[1，+∞）上单调递减，故{an}是递减数列．

（Ⅲ）假设存在m∈N*，使am＞0，

由（Ⅱ）知{an}是递减数列，先考虑第一项

令，则t∈（0，1），a1=φ（t）=2t-2ln（1+t），则，φ（t）单调递增，φ（t）＞φ（0）=0，所以a1＞0；

再考虑第二项

令，则，a2=h（u）=2u-4ln（2+u），则h（u）单调递增，h（u）＜h（2）=4-4ln4＜0，所以a2＜0，

故存在m=1符合题意．

解：（1）f′（x）=-e3-x，（1分）

由f′（3）=0，得-e3-3=0，即得b=-3-2a，（2分）

则f′（x）=-（x-3）（x+a+1）e3-x．

令f′（x）=0，得x1=3或x2=-a-1，由于x=3是极值点，∴-a-1≠3，即a≠-4，（4分）

当a＜-4时，x2＞3=x1，则在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，

f（x）为减函数；在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．　　　　　　　　　　　　　（5分）

当a＞-4时，x2＜3=x1，则在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

（2）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，

由于f（x）连续，而f（0）=-（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e-1＞0，f（3）=a+6，

那么f（x）在区间上的值域是：[-（2a+3）e3，a+6]，

　又g（x）==（x+a+1）e5-x，（a＞0，x∈[0，4]），

g′（x）=-e5-x（x+a）＜0，

∴g（x）在区间上是减函数，而g（0）=（a+1）e5，g（4）=（a+5）e，

∴它在区间上的值域是：[e（a+5），e5（a+1）]，

∴只需e（a+5）-（a+6）＜5e2-6即可，解得：a＜5e，

∴a的范围是：（0，5e）．

解：（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x2-2ex，f‘（x）=4x-2ex=2（2x-ex）．

令g（x）=2x-ex，g'（x）=2-ex，（2分）

当x∈（-∞，ln2）时，g'（x）＞0，x∈（ln2，+∞）时，g'（x）＜0

∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0．

∴f'（x）＜0．∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调递减函数．（4分）

（Ⅱ）①若f（x）有两个极值点a，b（a＜b），

则a，b是方程f'（x）=2mx-2ex=0的两不等实根．

∵x=0显然不是方程的根，∴有两不等实根．（6分）

令，则

当x∈（-∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（-∞，0），

当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，

x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，

要使有两不等实根，应满足m＞h（1）=e，

∴m的取值范围是（e，+∞）…（12分）