- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
f（x）=x3+ax2-11x+a在x=1处有极值，则a=______．
正确答案
4
解析
解：∵f（x）=x3+ax2-11x+a，
f′（x）=3x2+2ax-11，
又∵f（x）在x=1时取得极值，
∴f′（1）=3+2a-11=0，
∴a=4．
故答案为：4．
已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2
（1）若f（x）在x=1时有极值-1，求b，c的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
正确答案
解：（1）f‘（x）=3x2+2bx+c，
由已知得 
解得 
（2）由（1）知 f'（x）=3x2+2x-5，
由f'（x）=0 得 x1=-
列表如下：
根据表格，
当时函数取得极大值，且极大值为，
当x=1时函数取得极小值，且极小值为f（1）=-1，
所以根据题意可知-1＜k＜；
所以 k的取值范围是．
解析
解：（1）f‘（x）=3x2+2bx+c，
由已知得
解得
（2）由（1）知 f'（x）=3x2+2x-5，
由f'（x）=0 得 x1=-
列表如下：
根据表格，
当时函数取得极大值，且极大值为，
当x=1时函数取得极小值，且极小值为f（1）=-1，
所以根据题意可知-1＜k＜；
所以 k的取值范围是．
若函数f（x）=x（x-c）2在x=1处有极小值，则常数c的值为______．
正确答案
1
解析
解：展开可得f（x）=x（x-c）2=x3-2cx2+c2x，
求导数可得f′（x）=3x2-4cx+c2=（x-c）（3x-c）
令f′（x）=（x-c）（3x-c）=0可得x=c，或x=
当c=0时，函数无极值，不合题意，
当c＞0时，可得函数在（-∞，
故函数在x=c处取到极小值，故c=1，符合题意；
当c＜0时，可得函数在（-∞，c）单调递增，在（c，
故函数在x=
故答案为：1．
已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0，m与n的关系表达式______．
正确答案
n=3m+6
解析
解：f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n，
因为x=1是f（x）的一个极值点，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，
所以n=3m+6，
故答案为：n=3m+6．
若函数f（x）=x3+ax2+3bx（a，b∈R）是奇函数，且极小值为-2，则a-b=______．
正确答案
1
解析
解；∵函数f（x）=x3+ax2+3bx（a，b∈R）是奇函数，
∴f（-x）=-x3+ax2-3bx
=-（x3-ax2+3bx）
=-f（x）
∴a=0，
∴f（x）=x3+3bx，
∴x3+3bx=-2，①
∴f′（x）=3x2+3b=0，②
由①②得：b=-1，
∴a-b=1，
故答案为：1．
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