函数的极值与导数的关系_章节学习

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题型：单选题

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单选题

函数的零点个数是（　　）

A2

B3

C4

D5

正确答案

D

解析

解：因为函数的零点个数就是对应的函数y=3sinx与y=logx的交点个数．

又因为函数y=3sinx的周期T==4．而y=logx=-3⇒x=8．

在同一坐标系中画图得：

又图得：交点有5个．

故函数的零点个数是5．

故选 D．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x3-2ax2+bx+c．

（Ⅰ）当c=0时，f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；

（Ⅱ）当时，f（x）在点A，B处有极值，O为坐标原点，若A，B，O三点共线，求c的值．

正确答案

解：（Ⅰ）当c=0时，f（x）=x3-2ax2+bx．

则f‘（x）=3x2-4ax+b

由于f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，

可得f（1）=3，f'（1）=1，

即，

解得；

（Ⅱ）当时，f（x）=x3-3x2-9x+c．

所以f'（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1）

令f'（x）=0，解得x1=3，x2=-1．

当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：

所以当x=-1时，f（x）极大值=5+c；当x=3时，f（x）极小值=-27+c．

不妨设A（-1，5+c），B（3，-27+c）

因为A，B，O三点共线，所以kOA=kOB．

即，解得c=3．

故所求c值为3．

解析

解：（Ⅰ）当c=0时，f（x）=x3-2ax2+bx．

则f‘（x）=3x2-4ax+b

由于f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，

可得f（1）=3，f'（1）=1，

即，

解得；

（Ⅱ）当时，f（x）=x3-3x2-9x+c．

所以f'（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1）

令f'（x）=0，解得x1=3，x2=-1．

当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：

所以当x=-1时，f（x）极大值=5+c；当x=3时，f（x）极小值=-27+c．

不妨设A（-1，5+c），B（3，-27+c）

因为A，B，O三点共线，所以kOA=kOB．

即，解得c=3．

故所求c值为3．

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题型：单选题

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单选题

函数f（x）=x3-3x2，给出下列命题

（1）f（x）是增函数，无极值；

（2）f（x）是减函数，无极值

（3）f‘（x）的增区间为（-∞，o]及[2，+∞），减区间为[0，2]；

（4）f（0）=0 是极大值，f（2）=-4是极小值．

其中正确的命题个数是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解：∵f′（x）=3x2-6x，由f′（x）≥0得x≥2或x≤0，f′（x）≤0得0≤x≤2，

∴f（x）的增区间为（-∞，o]及[2，+∞），减区间为[0，2]，所以（3）正确，

f（0）=0 是极大值，f（2）=-4是极小值，（4）正确；

而（1）（2）均错误，

故答案选B．

1

题型：单选题

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单选题

设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，能使得该三次方程仅有一个实根的个数是（　　）

①a=-3，b=-3

②a=-3，b=2

③a=-3，b＞2

④a=0，b=2

⑤a=1，b=2．

A2个

B3个

C4个

D5个

正确答案

C

解析

解：设f（x）=x3+ax+b，f‘（x）=3x2+a，

①a=-3，b=-3时，令f'（x）=3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=-5，f（-1）=-1；

并且x＞1或者x＜-1时f'（x）＞0，

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函数，

所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图

②a=-3，b=2时，令f'（x）=3x2-3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（-1）=4；如图

③a=-3，b＞2时，函数f（x）=x3-3x+b，f（1）=-2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；

④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；

⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；

综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=，

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象上的两点且x1＜1，x2＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x2＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）

（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x0∈I，g（x）的图象在（x0，g（x0））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．

正确答案

解：（Ⅰ）当x≤1时，由f′（x）=-2x+1=0得x=；

当x＞1时，f′（x）=＞0

列表：

∴f（x）的单调增区间为（-∞，），（1，+∞）；

单调减区间为（，1）．

f（x）的极大值为f（）=，极小值为f（1）=0．

（Ⅱ）∵x1＜1∴f′（x1）=-2x1+1

∴直线PQ的方程为y-f（x1）=f′（x1）（x-x1）

即y-（-x12+x1）=（-2x1+1）（x-x1），y=（-2x1+1）x+x12①

∵x2＞1∴f′（x2）=

∴直线PQ的方程为y-f（x2）=f′（x2）（x-x2）

即y-lnx2=（x-x2），y=x+lnx2-1②

∵①②表示同一条直线方程，∴

消去x1，得[（1-）]2=lnx2-1，即--4lnx2+5=0

令φ（x）=--4lnx+5（x＞1），则x2是φ（x）图象与x轴交点的横坐标．

∵当x＞1时，φ′（x）=-

∴φ（x）在（1，+∞）上是减函数

又φ（3）=

φ（4）=

∴3＜x2＜4

（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x0∈I，g（x）的图象在（x0，g（x0））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l下方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“上线区间”，

所以（-∞，）不是函数f（x）的“上线区间”．

解析

解：（Ⅰ）当x≤1时，由f′（x）=-2x+1=0得x=；

当x＞1时，f′（x）=＞0

列表：

∴f（x）的单调增区间为（-∞，），（1，+∞）；

单调减区间为（，1）．

f（x）的极大值为f（）=，极小值为f（1）=0．

（Ⅱ）∵x1＜1∴f′（x1）=-2x1+1

∴直线PQ的方程为y-f（x1）=f′（x1）（x-x1）

即y-（-x12+x1）=（-2x1+1）（x-x1），y=（-2x1+1）x+x12①

∵x2＞1∴f′（x2）=

∴直线PQ的方程为y-f（x2）=f′（x2）（x-x2）

即y-lnx2=（x-x2），y=x+lnx2-1②

∵①②表示同一条直线方程，∴

消去x1，得[（1-）]2=lnx2-1，即--4lnx2+5=0

令φ（x）=--4lnx+5（x＞1），则x2是φ（x）图象与x轴交点的横坐标．

∵当x＞1时，φ′（x）=-

∴φ（x）在（1，+∞）上是减函数

又φ（3）=

φ（4）=

∴3＜x2＜4

（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x0∈I，g（x）的图象在（x0，g（x0））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l下方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“上线区间”，

所以（-∞，）不是函数f（x）的“上线区间”．

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