- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
正确答案
解析
解：由导函数的图象知，
f（x）在（1，2）递增；在（2，+∞）上递减
所以当x=2时取得极大值，
极大值为：f（2）=8a+4b+c
则函数f（x）的极大值是8a+4b+c
故选B．
已知f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则a+b=（ ）
正确答案
解析
解：f′（x）=3x2+2ax+b，
∴f′（1）=3+2a+b=0，①，
f（1）=1+a+b+a2=10，②，
由①②得：
而要在x=1能取到极值，则△=4a2-12b＞0，舍去
所以只有
∴a+b=-7，
故选：B．
已知函数y=x-ln（1+x2），则函数y的极值情况是（ ）
正确答案
解析
解：y′=1-
∴该函数无极值．
故选：D．
设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若
（Ⅲ）设函数g（x）=f‘（x）-a（x-x1），x∈（x1，x2），当x2=a时，求证：
正确答案
解 （Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）
∴f‘（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有
∴
解得
∴f（x）=6x3-9x2-36x．
（Ⅱ）∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且
∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8．
∴
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a2（6-a），则p'（a）=-9a2+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为
（Ⅲ）证明：∵x1，x2是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）．
∵
∴
∴
∵x1＜x＜x2，即
∴
∴|g（x）|=
∴|g（x）|
解析
解 （Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）
∴f‘（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有
∴
解得
∴f（x）=6x3-9x2-36x．
（Ⅱ）∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且
∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8．
∴
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a2（6-a），则p'（a）=-9a2+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为
（Ⅲ）证明：∵x1，x2是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）．
∵
∴
∴
∵x1＜x＜x2，即
∴
∴|g（x）|=
∴|g（x）|
设函数f（x）=
（1）若b=4a，求f（x）的单调递增区间；
（2）若曲线y=f（x）与x轴相切于异于原点的一点，且f（x）的极小值为-
正确答案
∴f′（x）=ax2+4ax2+（1-2a）．
令f′（x）=0，△=4a（6a-1）
当a＜0或a＞
①当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-2+
②当0＜a≤
③当a＞
（2）依据题意得：
f′（x）=a（x+
如图，得f（-
∴
代入
解析
∴f′（x）=ax2+4ax2+（1-2a）．
令f′（x）=0，△=4a（6a-1）
当a＜0或a＞
①当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-2+
②当0＜a≤
③当a＞
（2）依据题意得：
f′（x）=a（x+
如图，得f（-
∴
代入
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