- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，求c的值．
正确答案
解：∵f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=3x2-4cx+c2，且函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，
∴f′（2）=0，即c2-8c+12=0，解得c=6或2．
经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故c=6．
故答案为：6．
解析
解：∵f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=3x2-4cx+c2，且函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，
∴f′（2）=0，即c2-8c+12=0，解得c=6或2．
经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故c=6．
故答案为：6．
函数y=x3-6x+a的极大值是______．
正确答案
a+4
解析
解：由于y′=3x2-6，由y′=0，得出x=±
若x∈（-∞，-
若x∈（-
若x∈（
故当x=-
故答案为：a+4
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（1，0）处相切，求a，b，c的值．
正确答案
解：∵f′（x）=3x2+2ax+b
∴f′（-2）=3×（-2）2+2a×（-2）+b=0
∴12-4a+b=0
又f′（1）=3+2a+b=-3
∴a=1，b=-8
又f（x）过点（1，0）
∴13+a×12+b×1+c=0
∴c=6
解析
解：∵f′（x）=3x2+2ax+b
∴f′（-2）=3×（-2）2+2a×（-2）+b=0
∴12-4a+b=0
又f′（1）=3+2a+b=-3
∴a=1，b=-8
又f（x）过点（1，0）
∴13+a×12+b×1+c=0
∴c=6
若关于x的不等式x2+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，且函数y=ax3+mx2+x+
A（-2，-
B[-2，-
C（-∞，-2）∪（
D（-∞，-2]∪[-
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式x2+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴
∴a=1，c=2，
∴y=ax3+mx2+x+
∴y′=3x2+2mx+1
∵函数y=ax3+mx2+x+
∴y′=3x2+2mx+1=0（*）在区间
由3x2+2mx+m=0可得2m=-3x-
令f（x）=-3x-
f‘（x）=-3+
x∈（
x∈（
∴f（x）max=f（
∵f（1）=-4，f（
∴f（x）的值域为（-4，-2
∴2m∈（-4，-2
∴m∈（-2，-
但当m=-
∴m的范围是（-2，-
故选A．
设函数f（x）=（x-2）2ex．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在[a，b]（a＜b），使得f（x）在该区间上的值域为[e4a，e4b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f‘（x）=x（x-2）ex，
当f′（x）＞0时，解得：x＞2，x＜0，
当f（x）＜0时，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递增，（0，2）上单调递减．
∴y极大=f（0）=4，y极小=f（2）=0；
（Ⅱ）∵f（x）≥0，∴a≥0；
若a=0则b≥2，故有（b-2）2eb=e4b
构造
∴
b=4为唯一解．
若a＞0，则2∉[a，b]即b＞a＞2或0＜a＜b＜2
①b＞a＞2时，
不存在满足条件的a，b；
②0＜a＜b＜2时，
记 h（x）=x（x-2）2ex（0＜x＜2），
则 h'（x）=（x3-x2-4x+4）ex=（x2-4）（x-1）ex，
∴h（x）在（0，1）递增，（1，2）递减，
由h（a）=h（b），
∴0＜a＜1，1＜b＜2
此时（a-2）2ea＜4e＜e4b矛盾．
综上所述，满足条件的a，b为a=0，b=4．
解析
解：（Ⅰ）∵f‘（x）=x（x-2）ex，
当f′（x）＞0时，解得：x＞2，x＜0，
当f（x）＜0时，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递增，（0，2）上单调递减．
∴y极大=f（0）=4，y极小=f（2）=0；
（Ⅱ）∵f（x）≥0，∴a≥0；
若a=0则b≥2，故有（b-2）2eb=e4b
构造
∴
b=4为唯一解．
若a＞0，则2∉[a，b]即b＞a＞2或0＜a＜b＜2
①b＞a＞2时，
不存在满足条件的a，b；
②0＜a＜b＜2时，
记 h（x）=x（x-2）2ex（0＜x＜2），
则 h'（x）=（x3-x2-4x+4）ex=（x2-4）（x-1）ex，
∴h（x）在（0，1）递增，（1，2）递减，
由h（a）=h（b），
∴0＜a＜1，1＜b＜2
此时（a-2）2ea＜4e＜e4b矛盾．
综上所述，满足条件的a，b为a=0，b=4．
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