函数的极值与导数的关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．

（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式；

（2）若函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，且b2-mb+4≥g（x）在x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）∵，

∴由=3得x=±a，

即切点坐标为（a，a），（-a，-a）

∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）

整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0

∴，

解得a=±1，

∴f（x）=x3．

∴g（x）=x3-3bx+3（4分）

∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，

∴g′（1）=0，

即3×12-3b=0，解得b=1

∴g（x）=x3-3x+3（6分）

（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，

∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，

∴b≤0，

又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，

∴b2-mb+4≥g（1）（8分）

即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，

则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立

∴m≥3．

故m的取值范围是[3，+∞）

解析

解：（1）∵，

∴由=3得x=±a，

即切点坐标为（a，a），（-a，-a）

∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）

整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0

∴，

解得a=±1，

∴f（x）=x3．

∴g（x）=x3-3bx+3（4分）

∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，

∴g′（1）=0，

即3×12-3b=0，解得b=1

∴g（x）=x3-3x+3（6分）

（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，

∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，

∴b≤0，

又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，

∴b2-mb+4≥g（1）（8分）

即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，

则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立

∴m≥3．

故m的取值范围是[3，+∞）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=lnx+，（a＞0）．

（1）求函数g（x）的极值；

（2）已知x1＞0，函数h（x）=，x∈（x1，+∞），判断并证明h（x）的单调性；

（3）设0＜x1＜x2，试比较与，并加以证明．

正确答案

解：（1），令g‘（x）=0，得x=a．

当x∈（0，a）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；

当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．

∴当x=a时，g（x）有极小值lna+1，g（x）无极大值．

（2）h（x）在（x1，+∞）上是增函数，证明如下，

=

=，

由（1）知在[x1，+∞）上是增函数，

当x∈（x1，+∞）时，φ（x）＞φ（x1），

即，

∴h'（x）＞0，

即h（x）在（x1，+∞）上是增函数．

（3）0＜x1＜x＜x2，由（2）知，在（x1，+∞）上是增函数，

则，

令得，

．

解析

解：（1），令g‘（x）=0，得x=a．

当x∈（0，a）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；

当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．

∴当x=a时，g（x）有极小值lna+1，g（x）无极大值．

（2）h（x）在（x1，+∞）上是增函数，证明如下，

=

=，

由（1）知在[x1，+∞）上是增函数，

当x∈（x1，+∞）时，φ（x）＞φ（x1），

即，

∴h'（x）＞0，

即h（x）在（x1，+∞）上是增函数．

（3）0＜x1＜x＜x2，由（2）知，在（x1，+∞）上是增函数，

则，

令得，

．

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题型：填空题

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填空题

已知函数fn（x）=，其中n∈N*，a∈R，e是自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数g（x）=f1（x）-f2（x）的零点；

（Ⅱ）若对任意n∈N*，fn（x）均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围．

正确答案

解析

解：（I）g（x）=f1（x）-f2（x）=-=，

令g（x）=0，有ex-1=0，即x=0；或x2-2x-a=0；△=4+4a，

①当a＜1时，△＜0函数g（x）有1个零点 x1=0；

②当a=-1时，△=0函数g（x）有2个零点x1=0，x2=1；

③当a=0时，△＞0函数g（x）有两个零点x1=0，x2=2；

④当a＞-1，a≠0时，△＞0函数g（x）有三个零点：

x1=0，x2=1-，x3=1+；

（II）fn′（x）==，

设gn（x）=-nx2+2（n+1）x+an-2，gn（x）的图象是开口向下的抛物线，

由题意对任意n∈N*，gn（x）=0有两个不等实数根x1，x2，

且x1∈[1，4]，x2∉[1，4]，则对任意n∈N*，gn（1）gn（4）＜0，

即n•（a+1）•n•[a-（8-）]＜0，有（a+1）[a-（8-）]＜0，

又任意n∈N*，8-关于n递增，8-≥8-6=2，

故-1＜a＜（8-）min，所以-1＜a＜2．

所以a的取值范围是（-1，2）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（a＞0）

（1）若函数f（x）的极大值为2，极小值为-2，试求a，b的值；

（2）在（1）的条件下，若函数g（x）=k（x-），试讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的零点个数．

正确答案

解：（1）f′（x）==，（a＞0）

设x1，x2是-ax2-2bx+a=0的两根，且x1＜x2，

则x1+x2=-，x1x2=-1，

由于f（x1）=-2，f（x2）=2．即=-2，=2可化为=2，

则ax1+b=ax1-bx12，得b=0，x1+x2=0，x1=-1，x2=1．则a=4，

故a=4，b=0；

（2）f（x）=，令F（x）=f（x）-g（x）=0，即有=k（x-），

当k=0，x=0，有一个零点；当k≠0时，=（1+x2）（x-）．

当k＜0，y=x和y=（1+x2）（x-）的图象只有一个交点，即有一个零点；

当k＞0时，设直线与曲线相切的切点为（s，t），

则3s2-s+1=，t=s，t=（1+s2）（s-）

化简得，6s3-s2+1=0，得到s=-，k=，

①当0＜k＜时，图象有3个交点，函数有3个零点；

②当k=时，图象有2个交点，函数有2个零点；

③当k＞时，图象有1个交点，函数有1个零点；

综上，当k≤0或k＞时，有1个零点；

当k=时，函数有2个零点；

当0＜k＜时，函数有3个零点．

解析

解：（1）f′（x）==，（a＞0）

设x1，x2是-ax2-2bx+a=0的两根，且x1＜x2，

则x1+x2=-，x1x2=-1，

由于f（x1）=-2，f（x2）=2．即=-2，=2可化为=2，

则ax1+b=ax1-bx12，得b=0，x1+x2=0，x1=-1，x2=1．则a=4，

故a=4，b=0；

（2）f（x）=，令F（x）=f（x）-g（x）=0，即有=k（x-），

当k=0，x=0，有一个零点；当k≠0时，=（1+x2）（x-）．

当k＜0，y=x和y=（1+x2）（x-）的图象只有一个交点，即有一个零点；

当k＞0时，设直线与曲线相切的切点为（s，t），

则3s2-s+1=，t=s，t=（1+s2）（s-）

化简得，6s3-s2+1=0，得到s=-，k=，

①当0＜k＜时，图象有3个交点，函数有3个零点；

②当k=时，图象有2个交点，函数有2个零点；

③当k＞时，图象有1个交点，函数有1个零点；

综上，当k≤0或k＞时，有1个零点；

当k=时，函数有2个零点；

当0＜k＜时，函数有3个零点．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=．

（1）求函数f（x）的极值；

（2）当x＞0时，af（x）+xf′（x）＜恒成立，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）f′（x）=，

令f′（x）＞0，解得：x＞4或x＜1，

令f′（x）＜0，解得：1＜x＜4，

∴f（x）在（-∞，1），（4，+∞）递增，在（1，4）递减，

∴f（x）的极大值是f（0）=0或f（4）=，极小值是f（1）=-；

（2）当x∈（0，+∞）时，af（x）+f′（x）＜恒成立

⇔a（x-2）＜（x-1）（x-4）+4，

令x-2=t，则：x=t+2，（t＞-2），

∴at＜a2-t+2，

①当x＞2时，x-2＞0，即t＞0，此时不等式等价于a＜t+-1，

∵t+-1≥2-1=2-1，

当且仅当t=即t=，x=2+时“=”成立，

∴a＜2-1；

②当x=2，即t=0时，不等式at＜a2-t+2恒成立；

③当0＜x＜2即-2＜t＜0时，不等式at＜a2-t+2等价于a＞t+-1，

∵t+-1=-[（-t）+（-]-1≤-2-1=-1-2，

当且仅当-t=-，即t=-，x=2-时，“=”成立，

∴a＞-1-2，

综上：a的范围是（-1-2，2-1）．

解析

解：（1）f′（x）=，

令f′（x）＞0，解得：x＞4或x＜1，

令f′（x）＜0，解得：1＜x＜4，

∴f（x）在（-∞，1），（4，+∞）递增，在（1，4）递减，

∴f（x）的极大值是f（0）=0或f（4）=，极小值是f（1）=-；

（2）当x∈（0，+∞）时，af（x）+f′（x）＜恒成立

⇔a（x-2）＜（x-1）（x-4）+4，

令x-2=t，则：x=t+2，（t＞-2），

∴at＜a2-t+2，

①当x＞2时，x-2＞0，即t＞0，此时不等式等价于a＜t+-1，

∵t+-1≥2-1=2-1，

当且仅当t=即t=，x=2+时“=”成立，

∴a＜2-1；

②当x=2，即t=0时，不等式at＜a2-t+2恒成立；

③当0＜x＜2即-2＜t＜0时，不等式at＜a2-t+2等价于a＞t+-1，

∵t+-1=-[（-t）+（-]-1≤-2-1=-1-2，

当且仅当-t=-，即t=-，x=2-时，“=”成立，

∴a＞-1-2，

综上：a的范围是（-1-2，2-1）．

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