函数的极值与导数的关系
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题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，则a的取值范围为______．

正确答案

（-∞，-）∪（1，+∞）

解析

解：函数f（x）=x3-x2-x+a的导数为f′（x）=3x2-2x-1，

当x＞1或x＜-时，f′（x）＞0，f（x）递增；

当-＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．

即有f（1）为极小值，f（-）为极大值．

∵f（x）在（-∞，-）上单调递增，

∴当x→-∞时，f（x）→-∞；

又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，

∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．

即a+＜0或a-1＞0，

∴a∈（-∞，-）∪（1，+∞）

故答案为：（-∞，-）∪（1，+∞）．

题型：简答题

简答题

对于函数g（x）=（x-1）2ex，

（1）求g（x）的单调区间；

（2）g（x）=3x在[1，+∞）是否存在两个不同的解．

正确答案

解：（1）g（x）=（x-1）2ex，

∴g′（x）=（x+1）（x-1）ex

∴由g′（x）＞0得，x＜-1或x＞1；由g′（x）＜0得，-1＜x＜1；

∴g（x）的递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），递减区间是（-1，1）．

（2）g（x）=3x在[1，+∞）存在两个不同的解，等价于g（x）=3x在[1，+∞）有两个不等的根．

令h（x）=（x-1）2ex-3x，x∈[1，+∞）

h′（x）=（x2-1）ex-3，h″（x）=（x-1）2ex，

∴h″（x）≥0，h′（x）是[1，+∞）上的增函数，又h′（1）=-3＜0，h′（2）=3e2-3＞0，

∴存在x0∈（1，2）使得h′（x0）=0，故h（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，2）单调递增，

又h（1）=-3，

∴g（x）=3x在[1，+∞）至多有一个解，故不存在．

解析

解：（1）g（x）=（x-1）2ex，

∴g′（x）=（x+1）（x-1）ex

∴由g′（x）＞0得，x＜-1或x＞1；由g′（x）＜0得，-1＜x＜1；

∴g（x）的递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），递减区间是（-1，1）．

（2）g（x）=3x在[1，+∞）存在两个不同的解，等价于g（x）=3x在[1，+∞）有两个不等的根．

令h（x）=（x-1）2ex-3x，x∈[1，+∞）

h′（x）=（x2-1）ex-3，h″（x）=（x-1）2ex，

∴h″（x）≥0，h′（x）是[1，+∞）上的增函数，又h′（1）=-3＜0，h′（2）=3e2-3＞0，

∴存在x0∈（1，2）使得h′（x0）=0，故h（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，2）单调递增，

又h（1）=-3，

∴g（x）=3x在[1，+∞）至多有一个解，故不存在．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=lnx，若g（x）=f（x）++x-2-b（b∈R）．

（1）求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围；

（3）当0＜m＜n时，求证：f（m+n）-f（2n）＜．

正确答案

解：（1）f′（x）=，则切线斜率k=f′（1）=1，f（1）=0，

所以曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=x-1；

（2）g（x）=lnx++x-2-b，（x＞0），

g，

由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，

所以g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间为（0，1），

当x=1时，g（x）取得极小值g（1），

因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，

所以，即解得1＜b，

所以b的取值范围是（1，]；

证明：（3）当0＜m＜n时，要证f（m+n）-f（2n）＜，即证ln（m+n）-ln2n＜，即证ln＜-1，

构造函数h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），

当x∈（0，1）时，h′（x）=-1＞0，

所以函数h（x）在（0，1）上递增，

又0＜＜1，所以h（）＜h（1），即ln＜-1，

所以f（m+n）-f（2n）＜．

解析

解：（1）f′（x）=，则切线斜率k=f′（1）=1，f（1）=0，

所以曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=x-1；

（2）g（x）=lnx++x-2-b，（x＞0），

g，

由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，

所以g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间为（0，1），

当x=1时，g（x）取得极小值g（1），

因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，

所以，即解得1＜b，

所以b的取值范围是（1，]；

证明：（3）当0＜m＜n时，要证f（m+n）-f（2n）＜，即证ln（m+n）-ln2n＜，即证ln＜-1，

构造函数h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），

当x∈（0，1）时，h′（x）=-1＞0，

所以函数h（x）在（0，1）上递增，

又0＜＜1，所以h（）＜h（1），即ln＜-1，

所以f（m+n）-f（2n）＜．

题型：填空题

填空题

（2015春•海门市期末）设函数f（x）=x2-2x+1+alnx存在极大值和极小值，则实数a的取值范围是______．

正确答案

（0，）

解析

解：∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，

∴f′（x）==0在（0，+∞）内有两个不等实根，

∴2x2-2x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，

令g（x）=2x2-2x+a，则，

解得0＜a＜，

故答案为：（0，）．

题型：单选题

单选题

定义在闭区间[a，b]上的连续函数y=f（x）有唯一的极值点x=x0，且y极小值=f（x0），则下列说法正确的是（　　）

A函数f（x）在[a，b]上不一定有最小值

B函数f（x）在[a，b]上有最小值，但不一定是f（x0）

C函数f（x）在[a，b]上有最小值f（x0）

D函数f（x）在[a，b]上的最大值也可能是f（x0）

正确答案

解析

解：∵连续函数y=f（x）在[a，b]上有唯一的极值点x=x0，且y极小值=f（x0），

∴函数y=f（x）在[a，x0）递减，在（x0，b]递增，

∴y最小值=y极小值=f（x0），

故选：C．

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