- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为______．
（2）若函数g（x）=
正确答案
（1，1）
9
解析
解：（1）依题意，f‘（x）=3x2-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=1，
∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，）．
∴函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为（1，1）；
故答案为：（1，1）；
（2）由题意，g′（x）=x2-x+3，∴g″（x）=2x-1，
令g″（x）=0，解得x=
又g（
∴g（
g（
∴
故答案为：9．
已知函数f （x）=（x2-1）3+1，求f （x）的极值．
正确答案
解：f′（x）=6x（x2-1）2
令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表
当x=0时，f（x）有极小值，极小值是0，无极大值
解析
解：f′（x）=6x（x2-1）2
令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表
当x=0时，f（x）有极小值，极小值是0，无极大值
函数y=xex的极小值为______．
正确答案
解析
解：求导函数，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=-1
令y′＞0，可得x＞-1，令y′＜0，可得x＜-1
∴函数在（-∞，-1）上单调减，在（-1，+∞）上单调增
∴x=-1时，函数y=xex取得极小值，极小值是
故答案为：
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）∵f‘（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），
∴
∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，解得a=-1
∴f（x）=-x3-2x2+4x
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，-2）上单调递减，在
且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．
解析
解：（1）∵f‘（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），
∴
∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，解得a=-1
∴f（x）=-x3-2x2+4x
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，-2）上单调递减，在
且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．
已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为实数．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上是增函数，求a的取值范围（e为自然对数的底数）．
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=
正确答案
解：（1）当a=-1时，f′（x）=（-x+lnx）′=-1+
令f′（x）=-1+
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）有极大值f（1）=-1
（2）求导可得f′（x）=a+
由于f（x）在区间（0，e]上是增函数，所以f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，
即a+
由
所以当a
故所求a的取值范围为：a
（3）由（1）中的结论f（x）由唯一极值-1知，函数f（x）由最大值-1，
即f（x）≤-1，所以|f（x）|≥1，
令g（x）=
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（e）=
从而g（x）
解析
解：（1）当a=-1时，f′（x）=（-x+lnx）′=-1+
令f′（x）=-1+
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）有极大值f（1）=-1
（2）求导可得f′（x）=a+
由于f（x）在区间（0，e]上是增函数，所以f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，
即a+
由
所以当a
故所求a的取值范围为：a
（3）由（1）中的结论f（x）由唯一极值-1知，函数f（x）由最大值-1，
即f（x）≤-1，所以|f（x）|≥1，
令g（x）=
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（e）=
从而g（x）
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