- 函数的极值与导数的关系
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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心”,且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.
(1)函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为______.
(2)若函数g(x)=x3-
x2+3x-
,则
g(
)=______.
正确答案
(1,1)
9
解析
解:(1)依题意,f‘(x)=3x2-6x+3,
∴f''(x)=6x-6.
由f''(x)=0,即6x-6=0,解得x=1,
又 f(1)=1,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,).
∴函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为(1,1);
故答案为:(1,1);
(2)由题意,g′(x)=x2-x+3,∴g″(x)=2x-1,
令g″(x)=0,解得x=,
又g()=1,∴函数g(x)的对称中心为(
,1),
∴g()+g(
)=2,g(
)+g(
)=2,
g()=g(
)=2,g(
)+g(
)=2,
∴=4×2+1=9,
故答案为:9.
已知函数f (x)=(x2-1)3+1,求f (x)的极值.
正确答案
解:f′(x)=6x(x2-1)2
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1
当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表
当x=0时,f(x)有极小值,极小值是0,无极大值
解析
解:f′(x)=6x(x2-1)2
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1
当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表
当x=0时,f(x)有极小值,极小值是0,无极大值
函数y=xex的极小值为______.
正确答案
解析
解:求导函数,可得y′=ex+xex,令y′=0可得x=-1
令y′>0,可得x>-1,令y′<0,可得x<-1
∴函数在(-∞,-1)上单调减,在(-1,+∞)上单调增
∴x=-1时,函数y=xex取得极小值,极小值是.
故答案为:.
设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象经过点
,如图所示,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.
正确答案
解:(1)∵f‘(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),,
∴
∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在上单调递增,在
上单调递减,
由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x3-2x2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,
只需f(x)min≥m2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在上单调递增,在
上单调递减
且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8
∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
解析
解:(1)∵f‘(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),,
∴
∴f(x)=ax3+2ax2-4ax,
由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在上单调递增,在
上单调递减,
由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1
∴f(x)=-x3-2x2+4x
(2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,
只需f(x)min≥m2-14m即可.
由(1)可知函数y=f(x)在[-3,-2)上单调递减,在上单调递增,在
上单调递减
且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8
∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为实数.
(1)当a=-1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上是增函数,求a的取值范围(e为自然对数的底数).
(3)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=是否有实数解.
正确答案
解:(1)当a=-1时,f′(x)=(-x+lnx)′=-1+,
令f′(x)=-1+=0,解得x=1,
当0<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
故f(x)有极大值f(1)=-1
(2)求导可得f′(x)=a+,由x∈(0,e],得
,
由于f(x)在区间(0,e]上是增函数,所以f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,
即a+≥0在(0,e]上恒成立,所以a
在(0,e]上恒成立,
由,知
,即
所以当a时,a
恒成立,
故所求a的取值范围为:a
(3)由(1)中的结论f(x)由唯一极值-1知,函数f(x)由最大值-1,
即f(x)≤-1,所以|f(x)|≥1,
令g(x)=,则g′(x)=
当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(e)=,
从而g(x),又
,所以方程|f(x)|=
无实数解.
解析
解:(1)当a=-1时,f′(x)=(-x+lnx)′=-1+,
令f′(x)=-1+=0,解得x=1,
当0<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
故f(x)有极大值f(1)=-1
(2)求导可得f′(x)=a+,由x∈(0,e],得
,
由于f(x)在区间(0,e]上是增函数,所以f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,
即a+≥0在(0,e]上恒成立,所以a
在(0,e]上恒成立,
由,知
,即
所以当a时,a
恒成立,
故所求a的取值范围为:a
(3)由(1)中的结论f(x)由唯一极值-1知,函数f(x)由最大值-1,
即f(x)≤-1,所以|f(x)|≥1,
令g(x)=,则g′(x)=
当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(e)=,
从而g(x),又
,所以方程|f(x)|=
无实数解.
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