- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
设函数f（x）=x3-x2-ax（a∈R）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（II）若函数f（x）的图象上存在与x轴平行的切线，求a的取值范围．
正确答案
解：（I）∵f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1）．
由f‘（x）=0，得x=1或x=-
∴f（x）在x=-
（II）∵f'（x）=3x2-2x-a．
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解． …（10分）
∴△=（-2）2-4×3×（-a）≥0，
∴a≥-
因此，所求实数a的取值范围是（-
解析
解：（I）∵f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1）．
由f‘（x）=0，得x=1或x=-
∴f（x）在x=-
（II）∵f'（x）=3x2-2x-a．
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解． …（10分）
∴△=（-2）2-4×3×（-a）≥0，
∴a≥-
因此，所求实数a的取值范围是（-
求函数y=2x2-2x+1的极小值．
正确答案
解：y′=4x-2=0
解得x=
y、y′随x的变化如下表：
∴x=时，y取极小值．
解析
解：y′=4x-2=0
解得x=
y、y′随x的变化如下表：
∴x=时，y取极小值．
设函数f（ex）=ex，g（x）=
（1）求函数g（x）的极大值；
（2）令F（x）=
正确答案
解：（1）函数f（ex）=ex，即有f（x）=elnx，
则g（x）=lnx-x-1（x＞0），
g′（x）=
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
则有x=1处g（x）取得极大值，且为-2；
（2）F（x）=
令F′（x）＞0，解得，x＞
则F（x）的增区间为（
解析
解：（1）函数f（ex）=ex，即有f（x）=elnx，
则g（x）=lnx-x-1（x＞0），
g′（x）=
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
则有x=1处g（x）取得极大值，且为-2；
（2）F（x）=
令F′（x）＞0，解得，x＞
则F（x）的增区间为（
（2015春•湖南校级月考）设函数f（x）=（x-1）ex-1，则（ ）
正确答案
解析
解：f′（x）=（x-1）′ex-1+（x-1）（ex-1）′=xex-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴x=0是f（x）的极小值点，
故选：C．
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=xlnx．
（1）若函数f（x）＜0的解集为（1，3），且f（x）的最小值为-1，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1，c=2时，若函数φ（x）=f（x）+g（x）有零点，求实数b的最大值．
正确答案
解：（1）∵函数f（x）＜0的解集为（1，3），
∴1，3是方程ax2+bx+c=0的根，
∴f（x）=a（x-1）（x-3），
又∵f（x）的最小值为-1，
∴f（2）=-a=-1，
解得，a=1，
则f（x）=（x-1）（x-3）=x2-4x+3；
（2）由题意，
φ（x）=f（x）+g（x）=x2+bx+2+xlnx，（x＞0），
则函数φ（x）=f（x）+g（x）有零点可化为
方程x2+bx+2+xlnx=0有解，
则b=
则b′=-1-
则当x∈（0，1）时，b′＞0，b=-x-lnx-
当x∈（1，+∞）时，b′＜0，b=-x-lnx-
则bmax=-x-lnx-
即实数b的最大值为-3．
解析
解：（1）∵函数f（x）＜0的解集为（1，3），
∴1，3是方程ax2+bx+c=0的根，
∴f（x）=a（x-1）（x-3），
又∵f（x）的最小值为-1，
∴f（2）=-a=-1，
解得，a=1，
则f（x）=（x-1）（x-3）=x2-4x+3；
（2）由题意，
φ（x）=f（x）+g（x）=x2+bx+2+xlnx，（x＞0），
则函数φ（x）=f（x）+g（x）有零点可化为
方程x2+bx+2+xlnx=0有解，
则b=
则b′=-1-
则当x∈（0，1）时，b′＞0，b=-x-lnx-
当x∈（1，+∞）时，b′＜0，b=-x-lnx-
则bmax=-x-lnx-
即实数b的最大值为-3．
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