- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f(x)=x3-2x+1,g(x)=lnx.
(Ⅰ)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)是否存在实常数k和m,使得x>0时,f(x)≥kx+m且g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(Ⅰ)F(x)=x3-2x+1-lnx(x>0),求导数得
令F′(x)>0,∵x>0,∴可得x>1;
]令F′(x)<0,∵x>0,∴可得0<x<1;
∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)=0.…(6分)
(Ⅱ)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,0),而函数g(x)在点(1,0)的切线方程为y=x-1.…(9分)
下面验证都成立即可.
设h(x)=x3-2x+1-(x-1)=x3-3x+2(x>0)
求导数得h‘(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)(x>0)
∴h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)=x3-2x+1-(x-1)(x>0)的最小值为h(1)=0,所以f(x)≥x-1恒成立. …(12分)
设k(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以k(x)=lnx-(x-1)的最大值为k(1)=0所以k(x)≤x-1恒成立.
故存在这样的实常数k和m,且k=1且m=-1. …(15分)
解析
解:(Ⅰ)F(x)=x3-2x+1-lnx(x>0),求导数得
令F′(x)>0,∵x>0,∴可得x>1;
]令F′(x)<0,∵x>0,∴可得0<x<1;
∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)=0.…(6分)
(Ⅱ)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,0),而函数g(x)在点(1,0)的切线方程为y=x-1.…(9分)
下面验证都成立即可.
设h(x)=x3-2x+1-(x-1)=x3-3x+2(x>0)
求导数得h‘(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)(x>0)
∴h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴h(x)=x3-2x+1-(x-1)(x>0)的最小值为h(1)=0,所以f(x)≥x-1恒成立. …(12分)
设k(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以k(x)=lnx-(x-1)的最大值为k(1)=0所以k(x)≤x-1恒成立.
故存在这样的实常数k和m,且k=1且m=-1. …(15分)
已知函数f(x)=(2ax2-2x+1)e-2x
(1)若a=2,求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)若f(x)在区间(2,3)上单调递减,求a的取值范围.
正确答案
解:(1)当a=2时,f(x)=(4x2-2x+1)e-2xf‘(x)=-4(2x2-3x+1)e-2x=-4(x-1)(2x-1)e-2x…(3分)
令f'(x)=0∴
当x=1时,f(x)有极大值3e-2;当有极小值e-1…(6分)
(2)f'(x)=-4[ax2-(a+1)x+1]e-2x,
令f'(x)<0,ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)>0
对x∈(2,3)恒成立,…(9分)
即ax-1>0对x∈(2,3)恒成立,亦即恒成立
而故
.…(14分)
解析
解:(1)当a=2时,f(x)=(4x2-2x+1)e-2xf‘(x)=-4(2x2-3x+1)e-2x=-4(x-1)(2x-1)e-2x…(3分)
令f'(x)=0∴
当x=1时,f(x)有极大值3e-2;当有极小值e-1…(6分)
(2)f'(x)=-4[ax2-(a+1)x+1]e-2x,
令f'(x)<0,ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)>0
对x∈(2,3)恒成立,…(9分)
即ax-1>0对x∈(2,3)恒成立,亦即恒成立
而故
.…(14分)
已知函数f(x)=ex-ax,g(x)=-ax(x-1)+1
(Ⅰ)已知区间[-1,1]是不等式f(x)>0的解集的子集,求a的取值范围;
(Ⅱ)已知函数φ(x)=f(x)+g(x),在函数y=φ(x)图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在a使得y1-y2≤m(x1-x2)恒成立,求m的最大值.
正确答案
解:(I) f′(x)=ex-a
①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在区间[-1,1]上为增函数
由题意可知f(-1)>0,即 ,∴
…(2分)
②当a>0时,f′(x)=0,解得:x0=lna…(3分)
x∈(-∞,x0)f′(x)<0,x∈(x0,+∞)f′(x)>0
故有当x0∈[-1,1],即:时,f(x0)>0即满足题意
即f(lna)=a-alna>0,构建函数h(x)=x-xlnx()
h′(x)=-lnx,当x=1时为极大值点,有h(1)≤0
故a-alna>0不等式无解…(4分)
当x0<-1即时,f(-1)>0,即e-1-a(-1)>0
解得:,∴
当x0>1即时,f(1)>0,即e-a>0
解得:a<e,∴…(6分)
综上所述:…(7分)
(II)由题意可知:,可设任意两数x1<x2
若存在a使得φ(x1)-φ(x2)≤mx1-mx2成立,即:φ(x1)-mx1≤φ(x2)-mx2
构建函数:F(x)=φ(x)-mx,为增函数满足题意,即F‘(x)≥0恒成立即可,F'(x)=ex-ax-m,
构建函数G(x)=ex-ax-m,G'(x)=ex-a…(9分)
当a<0时,G'(x)>0,G(x)为增函数
则不存在a使得F'(x)≥0恒成立,故不合题意…(10分)
当a=0时,F'(x)=ex-m≥0,可解得m≤0…(11分)
当a>0时,可知G'(x)=ex-a=0,即x=lna为极小值点,也是最小值点,
G(lna)=a-alna-m≥0,∴m≤a-alna,
由于存在a使得该式恒成立,即m≤(a-alna)max,
由(I)可知,当a=1时,m≤1…(12分)
综上所述m的最大值为1…(13分)
解析
解:(I) f′(x)=ex-a
①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在区间[-1,1]上为增函数
由题意可知f(-1)>0,即 ,∴
…(2分)
②当a>0时,f′(x)=0,解得:x0=lna…(3分)
x∈(-∞,x0)f′(x)<0,x∈(x0,+∞)f′(x)>0
故有当x0∈[-1,1],即:时,f(x0)>0即满足题意
即f(lna)=a-alna>0,构建函数h(x)=x-xlnx()
h′(x)=-lnx,当x=1时为极大值点,有h(1)≤0
故a-alna>0不等式无解…(4分)
当x0<-1即时,f(-1)>0,即e-1-a(-1)>0
解得:,∴
当x0>1即时,f(1)>0,即e-a>0
解得:a<e,∴…(6分)
综上所述:…(7分)
(II)由题意可知:,可设任意两数x1<x2
若存在a使得φ(x1)-φ(x2)≤mx1-mx2成立,即:φ(x1)-mx1≤φ(x2)-mx2
构建函数:F(x)=φ(x)-mx,为增函数满足题意,即F‘(x)≥0恒成立即可,F'(x)=ex-ax-m,
构建函数G(x)=ex-ax-m,G'(x)=ex-a…(9分)
当a<0时,G'(x)>0,G(x)为增函数
则不存在a使得F'(x)≥0恒成立,故不合题意…(10分)
当a=0时,F'(x)=ex-m≥0,可解得m≤0…(11分)
当a>0时,可知G'(x)=ex-a=0,即x=lna为极小值点,也是最小值点,
G(lna)=a-alna-m≥0,∴m≤a-alna,
由于存在a使得该式恒成立,即m≤(a-alna)max,
由(I)可知,当a=1时,m≤1…(12分)
综上所述m的最大值为1…(13分)
函数y=1+3x-x3有( )
正确答案
解析
解:y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).
令y′=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;
当-1<x<1时,y′>0,函数y=1+3x-x3是增函数;
当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.
∴当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.
故选项为D
已知函数f(x)=x•ex,g(x)=-x2-2x+m.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)与g(x)的图象恰有两个交点,求实数m的取值范围.
正确答案
解:(1)∵f(x)=x•ex,
∴f‘(x)=ex+x•ex=ex(1+x)
令f'(x)=0,得x=-1
∵当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0
∴f(x)在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数.
(2)由(1)得[f(x)]min=f(-1)=-
∵二次函数g(x)=-x2-2x+m的图象抛物线
关于x=-1对称且开口向下
∴函数g(x)在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,+∞)上为减函数
由此可得[g(x)]max=g(-1)=m+1
∵当f(x)的最小值小于g(x)的最大值时,f(x)与g(x)的图象恰有两个交点,
∴m+1>-,得m>-1-
,
由此可得实数m的取值范围是(-1-,+∞).
解析
解:(1)∵f(x)=x•ex,
∴f‘(x)=ex+x•ex=ex(1+x)
令f'(x)=0,得x=-1
∵当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0
∴f(x)在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数.
(2)由(1)得[f(x)]min=f(-1)=-
∵二次函数g(x)=-x2-2x+m的图象抛物线
关于x=-1对称且开口向下
∴函数g(x)在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,+∞)上为减函数
由此可得[g(x)]max=g(-1)=m+1
∵当f(x)的最小值小于g(x)的最大值时,f(x)与g(x)的图象恰有两个交点,
∴m+1>-,得m>-1-
,
由此可得实数m的取值范围是(-1-,+∞).
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