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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.

(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a值;

(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.

正确答案

解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞).      

∴f′(x)=-2ax+(a-2)==.     

∵f(x)在x=1处取得极值,

即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,

∴a=-1.                                                     

当a=-1时,在(,1)内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,

∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1.                    

(Ⅱ)∵a2<a,∴0<a<1.                                             

f′(x)=-2ax+(a-2)==

∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,

∴f(x)在(0,)上单调递增;在(,+∞)上单调递减,

①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]单调递增,

∴fmax(x)=f(a)=lna-a3+a2-2a;                          

②当,即<a<时,f(x)在(a2)单调递增,在(,a)单调递减,

∴fmax(x)=f()=-ln2-+=-1-ln2;                    

③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]单调递减,

∴fmax(x)=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.                           

综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;

<a<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln2;

当a≥时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2

解析

解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞).      

∴f′(x)=-2ax+(a-2)==.     

∵f(x)在x=1处取得极值,

即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,

∴a=-1.                                                     

当a=-1时,在(,1)内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,

∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1.                    

(Ⅱ)∵a2<a,∴0<a<1.                                             

f′(x)=-2ax+(a-2)==

∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,

∴f(x)在(0,)上单调递增;在(,+∞)上单调递减,

①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]单调递增,

∴fmax(x)=f(a)=lna-a3+a2-2a;                          

②当,即<a<时,f(x)在(a2)单调递增,在(,a)单调递减,

∴fmax(x)=f()=-ln2-+=-1-ln2;                    

③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]单调递减,

∴fmax(x)=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.                           

综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;

<a<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln2;

当a≥时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=ln(1+x)-kx(k∈R)

(Ⅰ)若f(x)最大值为0,求k的值;

(Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=ln(1+an)-

(i)求证:<2;(ii)是否存在n使得an∉(0,1],做不存在,请给予证明.

正确答案

解:(Ⅰ)f′(x)=-k,x∈(-1,+∞)

①当k≤0,无最值,舍去;

②k>0,fmax(x)=f(-1)=0,

解得,k=1.

(Ⅱ)i.证明:由(Ⅰ)知,f(x)=ln(1+x)-x≤0,

即ln(x+1)≤x,

∴ln(1+an)≤an

∴an+1=ln(1+an)-≤an-

∴an+1an

∴anan-1an-2≤…≤a1=

ii.不存在,由(i)

下面用数学归纳法证明an>0对任意正整数成立,

①当n=1,a1=1>0;②假设当n=k时假设成立,即ak>0

故h(x)在(-1,1)单调递增,

∵0<ak≤1,

∴ak+1=h(ak)>h(0)=0,

∴当n=k+1,an>0,

∴an>0,

∴对任意正整数an>0恒成立即不存在n∈N*,使an∉(0,1].

解析

解:(Ⅰ)f′(x)=-k,x∈(-1,+∞)

①当k≤0,无最值,舍去;

②k>0,fmax(x)=f(-1)=0,

解得,k=1.

(Ⅱ)i.证明:由(Ⅰ)知,f(x)=ln(1+x)-x≤0,

即ln(x+1)≤x,

∴ln(1+an)≤an

∴an+1=ln(1+an)-≤an-

∴an+1an

∴anan-1an-2≤…≤a1=

ii.不存在,由(i)

下面用数学归纳法证明an>0对任意正整数成立,

①当n=1,a1=1>0;②假设当n=k时假设成立,即ak>0

故h(x)在(-1,1)单调递增,

∵0<ak≤1,

∴ak+1=h(ak)>h(0)=0,

∴当n=k+1,an>0,

∴an>0,

∴对任意正整数an>0恒成立即不存在n∈N*,使an∉(0,1].

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题型:填空题
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填空题

已知函数f(x)=2f′(1)lnx-x,则f(x)的极大值为______

正确答案

2ln2-2

解析

解:由于函数f(x)=2f′(1)lnx-x,

则f′(x)=2f′(1)×-1(x>0),

f′(1)=2f′(1)-1,

故f′(1)=1,得到f′(x)=2×-1=

令f′(x)>0,解得:x<2,令f′(x)<0,解得:x>2,

则函数在(0,2)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数,

故f(x)的极大值为f(2)=2ln2-2

故答案为:2ln2-2

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题型:填空题
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填空题

已知函数f (x)=x2-2lnx,则f (x)的极小值是______

正确答案

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解析

解:因为y=f(x)=x2-2lnx,

∴f‘(x)=2x-2×=

∵x>0

∴当x>1时,f'(x)>0,即f(x)递增;

当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)递减.

且f(x) 极小值为f( 1)=1.

故答案为:1.

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=x2+ax+blnx(x>0,实数a,b为常数).

(Ⅰ)若a=1,b=-1,求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)若a+b=-2,讨论函数f(x)的单调性.

正确答案

解:(Ⅰ)函数f(x)=x2+x-lnx,则f′(x)=2x+1-

令f′(x)=0,得x=-1(舍去),x=

当0<x<时,f′(x)<0,函数单调递减;

当x>时,f′(x)>0,函数单调递增;

∴f(x)在x=处取得极小值+ln2.

(Ⅱ)由于a+b=-2,则a=-2-b,从而f(x)=x2-(2+b)x+blnx,

则f′(x)=2x-(2+b)+=

令f′(x)=0,得x1=,x2=1.

1、当≤0,即b<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),

单调递增区间为(1,+∞);

2、当0<<1,即0<b<2时,列表如下:

所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),

单调递减区间为(,1);

3、当=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

4、当>1,即b>2时,列表如下:

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+∞),

单调递减区间为(1,);

综上:当≤0,即b<0时,

函数f(x)的单调递减区间为(0,1),

单调递增区间为(1,+∞);

当0<<1,即0<b<2时,

函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),

单调递减区间为(,1);

=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

>1,即b>2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(+∞),

单调递减区间为(1,).

解析

解:(Ⅰ)函数f(x)=x2+x-lnx,则f′(x)=2x+1-

令f′(x)=0,得x=-1(舍去),x=

当0<x<时,f′(x)<0,函数单调递减;

当x>时,f′(x)>0,函数单调递增;

∴f(x)在x=处取得极小值+ln2.

(Ⅱ)由于a+b=-2,则a=-2-b,从而f(x)=x2-(2+b)x+blnx,

则f′(x)=2x-(2+b)+=

令f′(x)=0,得x1=,x2=1.

1、当≤0,即b<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),

单调递增区间为(1,+∞);

2、当0<<1,即0<b<2时,列表如下:

所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),

单调递减区间为(,1);

3、当=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

4、当>1,即b>2时,列表如下:

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+∞),

单调递减区间为(1,);

综上:当≤0,即b<0时,

函数f(x)的单调递减区间为(0,1),

单调递增区间为(1,+∞);

当0<<1,即0<b<2时,

函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),

单调递减区间为(,1);

=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

>1,即b>2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(+∞),

单调递减区间为(1,).

下一知识点 : 函数的最值与导数的关系
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