- 函数的极值与导数的关系
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已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a值;
(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.
正确答案
解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞).
∴f′(x)=-2ax+(a-2)=
=
.
∵f(x)在x=1处取得极值,
即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,
∴a=-1.
当a=-1时,在(,1)内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,
∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1.
(Ⅱ)∵a2<a,∴0<a<1.
f′(x)=-2ax+(a-2)=
=
.
∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,
∴f(x)在(0,)上单调递增;在(
,+∞)上单调递减,
①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]单调递增,
∴fmax(x)=f(a)=lna-a3+a2-2a;
②当,即
<a<
时,f(x)在(a2,
)单调递增,在(
,a)单调递减,
∴fmax(x)=f()=-ln2-
+
=
-1-ln2;
③当≤a2,即
≤a<1时,f(x)在[a2,a]单调递减,
∴fmax(x)=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.
综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;
当<a<
时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是
-1-ln2;
当a≥时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.
解析
解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞).
∴f′(x)=-2ax+(a-2)=
=
.
∵f(x)在x=1处取得极值,
即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,
∴a=-1.
当a=-1时,在(,1)内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,
∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1.
(Ⅱ)∵a2<a,∴0<a<1.
f′(x)=-2ax+(a-2)=
=
.
∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,
∴f(x)在(0,)上单调递增;在(
,+∞)上单调递减,
①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]单调递增,
∴fmax(x)=f(a)=lna-a3+a2-2a;
②当,即
<a<
时,f(x)在(a2,
)单调递增,在(
,a)单调递减,
∴fmax(x)=f()=-ln2-
+
=
-1-ln2;
③当≤a2,即
≤a<1时,f(x)在[a2,a]单调递减,
∴fmax(x)=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.
综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;
当<a<
时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是
-1-ln2;
当a≥时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.
已知函数f(x)=ln(1+x)-kx(k∈R)
(Ⅰ)若f(x)最大值为0,求k的值;
(Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=ln(1+an)-;
(i)求证:<2;(ii)是否存在n使得an∉(0,1],做不存在,请给予证明.
正确答案
解:(Ⅰ)f′(x)=-k,x∈(-1,+∞)
①当k≤0,无最值,舍去;
②k>0,fmax(x)=f(-1)=0,
解得,k=1.
(Ⅱ)i.证明:由(Ⅰ)知,f(x)=ln(1+x)-x≤0,
即ln(x+1)≤x,
∴ln(1+an)≤an,
∴an+1=ln(1+an)-≤an-
;
∴an+1≤an,
∴an≤an-1≤
an-2≤…≤
a1=
,
∴
ii.不存在,由(i),
下面用数学归纳法证明an>0对任意正整数成立,
①当n=1,a1=1>0;②假设当n=k时假设成立,即ak>0
令,
则,
故h(x)在(-1,1)单调递增,
∵0<ak≤1,
∴ak+1=h(ak)>h(0)=0,
∴当n=k+1,an>0,
∴an>0,
∴对任意正整数an>0恒成立即不存在n∈N*,使an∉(0,1].
解析
解:(Ⅰ)f′(x)=-k,x∈(-1,+∞)
①当k≤0,无最值,舍去;
②k>0,fmax(x)=f(-1)=0,
解得,k=1.
(Ⅱ)i.证明:由(Ⅰ)知,f(x)=ln(1+x)-x≤0,
即ln(x+1)≤x,
∴ln(1+an)≤an,
∴an+1=ln(1+an)-≤an-
;
∴an+1≤an,
∴an≤an-1≤
an-2≤…≤
a1=
,
∴
ii.不存在,由(i),
下面用数学归纳法证明an>0对任意正整数成立,
①当n=1,a1=1>0;②假设当n=k时假设成立,即ak>0
令,
则,
故h(x)在(-1,1)单调递增,
∵0<ak≤1,
∴ak+1=h(ak)>h(0)=0,
∴当n=k+1,an>0,
∴an>0,
∴对任意正整数an>0恒成立即不存在n∈N*,使an∉(0,1].
已知函数f(x)=2f′(1)lnx-x,则f(x)的极大值为______.
正确答案
2ln2-2
解析
解:由于函数f(x)=2f′(1)lnx-x,
则f′(x)=2f′(1)×-1(x>0),
f′(1)=2f′(1)-1,
故f′(1)=1,得到f′(x)=2×-1=
,
令f′(x)>0,解得:x<2,令f′(x)<0,解得:x>2,
则函数在(0,2)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数,
故f(x)的极大值为f(2)=2ln2-2
故答案为:2ln2-2
已知函数f (x)=x2-2lnx,则f (x)的极小值是______.
正确答案
1
解析
解:因为y=f(x)=x2-2lnx,
∴f‘(x)=2x-2×=
∵x>0
∴当x>1时,f'(x)>0,即f(x)递增;
当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)递减.
且f(x) 极小值为f( 1)=1.
故答案为:1.
已知函数f(x)=x2+ax+blnx(x>0,实数a,b为常数).
(Ⅰ)若a=1,b=-1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若a+b=-2,讨论函数f(x)的单调性.
正确答案
解:(Ⅰ)函数f(x)=x2+x-lnx,则f′(x)=2x+1-,
令f′(x)=0,得x=-1(舍去),x=.
当0<x<时,f′(x)<0,函数单调递减;
当x>时,f′(x)>0,函数单调递增;
∴f(x)在x=处取得极小值
+ln2.
(Ⅱ)由于a+b=-2,则a=-2-b,从而f(x)=x2-(2+b)x+blnx,
则f′(x)=2x-(2+b)+=
令f′(x)=0,得x1=,x2=1.
1、当≤0,即b<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),
单调递增区间为(1,+∞);
2、当0<<1,即0<b<2时,列表如下:
所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),
单调递减区间为(,1);
3、当=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
4、当>1,即b>2时,列表如下:
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+∞),
单调递减区间为(1,);
综上:当≤0,即b<0时,
函数f(x)的单调递减区间为(0,1),
单调递增区间为(1,+∞);
当0<<1,即0<b<2时,
函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),
单调递减区间为(,1);
当=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当>1,即b>2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(
+∞),
单调递减区间为(1,).
解析
解:(Ⅰ)函数f(x)=x2+x-lnx,则f′(x)=2x+1-,
令f′(x)=0,得x=-1(舍去),x=.
当0<x<时,f′(x)<0,函数单调递减;
当x>时,f′(x)>0,函数单调递增;
∴f(x)在x=处取得极小值
+ln2.
(Ⅱ)由于a+b=-2,则a=-2-b,从而f(x)=x2-(2+b)x+blnx,
则f′(x)=2x-(2+b)+=
令f′(x)=0,得x1=,x2=1.
1、当≤0,即b<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),
单调递增区间为(1,+∞);
2、当0<<1,即0<b<2时,列表如下:
所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),
单调递减区间为(,1);
3、当=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
4、当>1,即b>2时,列表如下:
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+∞),
单调递减区间为(1,);
综上:当≤0,即b<0时,
函数f(x)的单调递减区间为(0,1),
单调递增区间为(1,+∞);
当0<<1,即0<b<2时,
函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),
单调递减区间为(,1);
当=1,即b=2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当>1,即b>2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(
+∞),
单调递减区间为(1,).
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