热门试卷

解：（1）若m=3，f（x）=lnx+x2-3x，（x＞0），

f′（x）=+2x-3=，

由f′（x）=0，得x=1，或x=，

当0＜x＜，或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

所以当x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=ln1+1-3=-2；

（2）f′（x）=+2x-m=，

若函数f（x）在定义域内为增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

即2x2-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，

∴m≤=，只需m≤（）min，

而≥2=2．当且仅当，x=时等号成立，

所以（）min=2，

所以数m的取值范围为m≤2．

解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同．

∵f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0）

即，

由x0+2a=得：x02+2ax0-3a2=0，即（x-a）（x+3a）=0，解得x0=a或x0=-3a（舍去）．

即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna，

令h（t）=t2-3t2lnt（t＞0），则h′（t）=5t-6tlnt-3t=2t（1-3lnt），于是

当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；

当t（1-3lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0，

故h（t）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，

则h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=-3ln=；

（2）F（x）=f（x）-g（x）=，

则F′（x）=x+2α-=（x＞0）．

故F（x）在（0，α）为减函数，在（α，+∞）为增函数，

于是函数F（X）在x=a时有极小值F（α），F（X0）=f（x0）-g（x0）=0无极大值．

证明：（I）因为f‘（x）=x2-2ax+（a2-1）=[x-（a+1）][x-（a-1）]，

令f'（x）=0，则x1=a+1，x2=a-1，------------------------------------------（2分）

则当x＜a-1时，f'（x）＞0，当a-1＜x＜a+1，f'（x）＜0

所以x=a-1为f（x）的一个极大值点，-----------------------（4分）

同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点．-------------------------------------（5分）

另解：（I）因为f′（x）=x2-2ax+（a2-1）是一个二次函数，

且△=（-2a）2-4（a2-1）=4＞0，-------------------------------------（2分）

所以导函数有两个不同的零点，

又因为导函数是一个二次函数，

所以函数f（x）有两个不同的极值点．---------------------------------------（5分）

（II） 因为，

令g'（x）=0，则x1=a，x2=-a---------------------------------------（6分）

因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x1=a和a+1，a-1不可能相等，

所以当-a=a+1时，，当-a=a-1时，，

经检验，和时，x1=a，x2=-a都是g（x）的极值点．--------------（8分）