- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
若函数f（x）=x3-3bx+3b在（-2，0）内有极大值，则实数b的取值范围是______．
正确答案
0＜b＜4
解析
解：由题意得f′（x）=3x2-3b，
令f′（x）=0，则x=±
又∵函数f（x）=x3-3bx+b在（-2，0）内有极大值，
∴-2＜-
∴0＜b＜4，
故答案为：0＜b＜4．
设a∈R，若函数y=ex+3ax（x∈R）有小于零的极值点，则（ ）
A-3＜a＜0
B-
Ca＜-3
Da＜-
正确答案
解析
解：y′=ex+3a，
令y′=0，有ex=-3a．
∴a＜0，x=ln（-3a）＜0，
∴-3a＜1，解得
∴
故选：B．
函数f（x）=ax3-x2+x-6在（-∞，+∞）上既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（ ）
Aa＞0
Ba＜0
Ca＞
Da＜
正确答案
解析
解：求导函数：f′（x）=3ax2-2x+1，
∵函数f（x）=ax3-x2+x-6既有极大值又有极小值，
∴a≠0，且△=4-12a＞0，∴a＜
故选：D．
已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）定义域（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f‘（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得
当
当
所以函数f（x）的极小值是
（Ⅱ）由已知得
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得
当
当
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是
解析
解：（Ⅰ）定义域（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f‘（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得
当
当
所以函数f（x）的极小值是
（Ⅱ）由已知得
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得
当
当
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是
若关于x的方程x3-x2-x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（ ）
Aa＞
B-
Ca＜-1
Da＞-1
正确答案
解析
设f（x）=x3-x2-x，则函数的导数f′（x）=3x2-2x-1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-
由f′（x）＜0得-
即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1-1-1=-1，
在x=-
要使方程x3-x2-x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，
则-1＜-a＜
即-
故选：B．
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