热门试卷

解：（Ⅰ）因为f（x）=ax3-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax2-4

因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0

得  ，经检验符合题意，所以所以f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）

令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：

所以f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；f（x）的单调减区间为（-2，2）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为；

当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为；

要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为

解：（1）由f‘（x）=3x2+2ax得x=0或

∴得a=-3．…（3分）

当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时f'（x）＞0

故当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=8+4a+b=-2

所以b=2…（6分）

（2）当x∈[0，1]，k=f'（x）=3x2+2ax≤1恒成立，

即令g（x）=3x2+2ax-1≤0对一切x∈[0，1]恒成立，…（9分）

只需即a≤-1

所以a的取值范围为（-∞，-1]．…（12分）

解：（Ⅰ）依题意f′（x）=+a．

因为在x=时取得极值，所以f′（）=2+a=0，则a=-2…（2分）

经检验，a=-2满足题意．…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx-2x+2则F（x）=λx2-lnx-x，

则F′（x）=．

令F‘（x）=0，2λx2-x-1=0．

因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，

方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．

因为x＞0，所以x1应舍去．

当x∈（0，x2）时，F'（x）＜0，F（x）在（0，x2）上单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）在（x2，+∞）单调递增．

当x=x2时，F'（x2）=0，F（x）取最小值F（x2）．…（9分）

因为F（x）=0有唯一解，所以F（x2）=0，

则

因为λ＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）

设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，

h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．

因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，

代入方程组解得λ=1．…（12分）

解：（Ⅰ）由题知，a=0时，g（x）=xex-x 所以g‘（x）=（x+1）ex-1，

显然当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；

（Ⅱ）f'（x）=（x2+（2-a）x）ex-2x=x[（x+2-a）ex-2]；

由于函数f（x）在x=0处取得极小值，所以x＜0时f'（x）＜0，所以（x+2-a）ex-2＞0；

同样，x＞0时，f'（x）＞0，（x+2-a）ex-2＞0；

若设h（x）=（x+2-a）ex-2，则h′（x）=ex（x+3-a），所以在（-∞，a-3）上h′（x）＜0，所以h（x）在（-∞，a-3）上单调递减；

同样h（x）在（a-3，+∞）上单调递增．则h（0）≥0就会使（x+2-a）ex-2＞0恒成立；

所以2-a-2≥0，所以a≤0，所以a的取值范围是：（-∞，0]．