热门试卷

（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=-x3+2x2-x，得f（2）=-2，

且f′（x）=-3x2+4x-1，f′（2）=-5，

所以，曲线y=-x3+2x2-x在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），

整理得5x+y-8=0．

（Ⅱ）解：f（x）=-x3+2ax2-a2x，f′（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a），

令f′（x）=0，解得或x=a，

由于a≠0，以下分两种情况讨论：

（1）若a＞0，当x变化时，f′（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在处取得极小值，且，

函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0；

（2）若a＜0，当x变化时，f′（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；

函数f（x）在处取得极大值，且；

（Ⅲ）证明：由a＞3，得，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1，

由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），x∈R，

只要k-cosx≤k2-cos2x（x∈R），即cos2x-cosx≤k2-k（x∈R）①，

设，则函数g（x）在R上的最大值为2，

要使①式恒成立，必须k2-k≥2，即k≥2或k≤-1，

所以，在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．

解：，（2分）

（1）且a＞0，∴a=1（4分）

（2）对任意的x∈（0，3]恒成立（5分）

∴2a2≥-x2+2x对任意的x∈（0，3]恒成立，

∴2a2≥（-x2+2x）max，而当x=1时，-x2+2x=-（x-1）2+1取最大值为1，

∴2a2≥1，且a＞0，∴（8分）

（3）因为函数在[1，2]上有两个零点，

所以方程a2=-x2+3x在x∈[1，2]上有两个不等实根（a＞0）（10分）

又因为函数在x∈[1，2]内的值域为（12分）

由函数图象可得：，a＞0，所以：，

即实数a的取值范围是（14分）