- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=2x3-3x2+6
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极大值和极小值．
正确答案
解：（1）f′（x）=6x2-6x
令f′（x）＞0，
即6x2-6x＞0，
得x＜0或x＞1
令f′（x）＜0，
即6x2-6x＜0，
得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，0）和（1，+∞），
函数f（x）的单调减区间为：（0，1）
（2）由（1）得：x=0函数取得极大值，x=1函数取到极小值，
∴函数f（x）极大值=f（0）=6
函数f（x）极小值=f（1）=5．
解析
解：（1）f′（x）=6x2-6x
令f′（x）＞0，
即6x2-6x＞0，
得x＜0或x＞1
令f′（x）＜0，
即6x2-6x＜0，
得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，0）和（1，+∞），
函数f（x）的单调减区间为：（0，1）
（2）由（1）得：x=0函数取得极大值，x=1函数取到极小值，
∴函数f（x）极大值=f（0）=6
函数f（x）极小值=f（1）=5．
函数
正确答案
解析
解：由于f′（x）=x3-x2
则f′（x）=0，解得x=0或1．
又由于x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
故1是函数的极值点．
故选：D．
在R上的可导函数f（x）=
正确答案
（-2.5，-2）
解析
解：∵函数f（x）=
∴f′x）=x2+ax+1，
又当x∈（0，1）取得极大值，当x∈（1，2）取得极小值，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
∴
解得：-2.5＜a＜-2，
故答案为：（-2.5，-2）．
正确答案
解析
解：①x＜-3时，2-x＞0，y＞0，∴f′（x）＞0，
②-3＜x＜2时，2-x＞0，y＜0，∴f′（x）＜0，
③2＜x＜3时，2-x＜0，y＞0，∴f′（x）＜0，
④x＞3时，2-x＜0，y＜0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-3），（3，+∞）上递增，在（-3，3）递减，
∴f（3）是极小值，f（-3）是极大值；
故选：D．
已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差．
正确答案
解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，
∴y‘=3x2+6ax+3b，
∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x3-3x2+c，则y'=3x2-6x，
令y'=3x2-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x2-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x2-6x，
令y′=0，即3x2-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，
∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．
解析
解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，
∴y‘=3x2+6ax+3b，
∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x3-3x2+c，则y'=3x2-6x，
令y'=3x2-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x2-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x2-6x，
令y′=0，即3x2-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，
∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．
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