- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=-1和x=2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）极值．
正确答案
解：（1）∵f‘（x）=6x2+2ax+b
由已知有
解得a=-3，b=-12…（5分）
（2）f（x）的极值只可能在-1和2处取得
f'（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）
故f在（-∞-1）和（2+∞）上为增函数，在（-1 2）为减函数
故f在-1取极大值和2上取极小值
f（-1）=10
f（2）=-17
解析
解：（1）∵f‘（x）=6x2+2ax+b
由已知有
解得a=-3，b=-12…（5分）
（2）f（x）的极值只可能在-1和2处取得
f'（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）
故f在（-∞-1）和（2+∞）上为增函数，在（-1 2）为减函数
故f在-1取极大值和2上取极小值
f（-1）=10
f（2）=-17
正确答案
解析
解：由题意，f′（x）=3ax2+2bx+1；
则由x1，x2为两个极值点知，
x1，x2为3ax2+2bx+1=0的两个根，
则由图象可知，
x1x2=
故a＜0，b＞0；
故选C．
已知函数f（x）=x3-3ax2+b（a∈R，b∈R）．
（I） 设a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 设a=-1，若方程f（x）=0在[-2，2]上有且仅有一个实数解，求b的取值范围．
正确答案
解：（ I）f‘（x）=3x2-6ax=3x（x-2a），…（2分）
因为a＞0，所以2a＞0
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
当x＞2a或x＜0时，f'（x）＞0；当0＜x＜2a时，f'（x）＜0．
所以，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2a，+∞），
单调递减区间是（0，2a）．…（6分）
（ II）f（x）=x3+3x2+b，f'（x）=3x2+6x=3x（x+2），x∈[-2，2]
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
…（8分）
因为方程f（x）=0在区间[-2，2]有且仅有一个实数解，而b+4＜b+20，
所以b=0，…（10分）
或
所以方程f（x）=0在区间[-2，2]有且仅有一个实数解时，b的取值范围是b=0或-20≤b＜-4．…（12分）
解析
解：（ I）f‘（x）=3x2-6ax=3x（x-2a），…（2分）
因为a＞0，所以2a＞0
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
当x＞2a或x＜0时，f'（x）＞0；当0＜x＜2a时，f'（x）＜0．
所以，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2a，+∞），
单调递减区间是（0，2a）．…（6分）
（ II）f（x）=x3+3x2+b，f'（x）=3x2+6x=3x（x+2），x∈[-2，2]
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
…（8分）
因为方程f（x）=0在区间[-2，2]有且仅有一个实数解，而b+4＜b+20，
所以b=0，…（10分）
或
所以方程f（x）=0在区间[-2，2]有且仅有一个实数解时，b的取值范围是b=0或-20≤b＜-4．…（12分）
（2015春•永安市月考）已知函数f（x）=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=
∴f′（x）=x2+2ax+b2有两个不同的根，
即判别式△=4a2-4b2＞0，
即当a＞b，该函数有两个极值点，
如下图所示：全部结果所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，0≤b≤2}（图中矩形所示），其面积为4，
满足该函数有两个极值点的区域为：
{（a，b）|1≤a≤3，0≤b≤2，a＞b}（如图阴影所示），其面积为：
∴所求的概率为：
故选：C．
若函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则b-a=（ ）
正确答案
解析
解：对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2-2ax-b，
又∵在x=1时f（x）有极值10，
∴
解得a=-4，b=11或a=3，b=-3，
当a=3，b=-3时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0
∴在x=1时f（x）无极值，
a=-4，b=11时，满足题意，
∴b-a=15．
故选：B．
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