- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线垂直于直线，y=
（1）设f（x）的极大值为p，极小值为q，求p-q的值；
（2）若c为正常数，且不等式f（x）＞mx2在区间（0，2）内恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意得：
解得：
∴f′（x）=3x（x-2），f（x）=x3-3x2+c，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴p=f（x）极大值=f（0）=c，q=f（x）极小值=f（2）=-4+c，
∴p-q=4；
（2）若c为正常数，不等式f（x）＞mx2在区间（0，2）内恒成立，
问题等价于m＜x+
令g（x）=x+
g′（x）=
c≥4时，g′（x）＜0，g（x）在（0，2）递减，
∴m＜g（2）=
0＜c＜4时，g（x）在（0，
∴m＜g（
解析
解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意得：
解得：
∴f′（x）=3x（x-2），f（x）=x3-3x2+c，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴p=f（x）极大值=f（0）=c，q=f（x）极小值=f（2）=-4+c，
∴p-q=4；
（2）若c为正常数，不等式f（x）＞mx2在区间（0，2）内恒成立，
问题等价于m＜x+
令g（x）=x+
g′（x）=
c≥4时，g′（x）＜0，g（x）在（0，2）递减，
∴m＜g（2）=
0＜c＜4时，g（x）在（0，
∴m＜g（
已知函数f（x）=x（x-c）2（c∈R）在x=2处有极小值．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ） 求f（x）在区间[0，4]上的最大值和最小值．
正确答案
解：（Ⅰ） 因为f‘（x）=（x-c）2+2x（x-c）=3x2-4cx+c2，
又f（x）=x（x-c）2在x=2处有极小值，
所以f'（2）=12-8c+c2=0⇒c=2或c=6，（2分）
①当c=2时，f'（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），
当
当
此时f（x）在x=2处有极小值，符合题意；（4分）
②当c=6时，f'（x）=3x2-24x+36=3（x-2）（x-6），
当f'（x）=3（x-2）（x-6）≥0⇒x≤2或x≥6时，f（x）单调递增，
当f'（x）=3（x-2）（x-6）≤0⇒2≤x≤6时，f（x）单调递减，
此时f（x）在x=2处有极大值，不符题意，舍去．
综上所述，c=2．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x（x-2）2，f'（x）=（3x-2）（x-2），
令f'（x）=（3x-2）（x-2）=0，得
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
由上表可知：f（x）min=0，f（x）max=16．（12分）
解析
解：（Ⅰ） 因为f‘（x）=（x-c）2+2x（x-c）=3x2-4cx+c2，
又f（x）=x（x-c）2在x=2处有极小值，
所以f'（2）=12-8c+c2=0⇒c=2或c=6，（2分）
①当c=2时，f'（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），
当
当
此时f（x）在x=2处有极小值，符合题意；（4分）
②当c=6时，f'（x）=3x2-24x+36=3（x-2）（x-6），
当f'（x）=3（x-2）（x-6）≥0⇒x≤2或x≥6时，f（x）单调递增，
当f'（x）=3（x-2）（x-6）≤0⇒2≤x≤6时，f（x）单调递减，
此时f（x）在x=2处有极大值，不符题意，舍去．
综上所述，c=2．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x（x-2）2，f'（x）=（3x-2）（x-2），
令f'（x）=（3x-2）（x-2）=0，得
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
由上表可知：f（x）min=0，f（x）max=16．（12分）
函数f（x）=（x2-3x）（x+4）的零点为______．
正确答案
0，3，-4
解析
解：函数f（x）=（x2-3x）（x+4）的零点即为方程
（x2-3x）（x+4）=0的根，方程可化为：
x（x-3）（x-4）=0，解得x=0，或x=3，或x=-4
故答案为：0，3，-4
已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x
（1）当
（2）若f（x）在（-1，1）上是增函数，求a的取值范围．
正确答案
解：（I ）a=
对函数求导可得，f′（x）=2x3-6x+4=2（x-1）2（x+2）
当x＞-2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增
x＜-2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-2）上单调递减
x=-2是函数的极小值f（-2）=-12，没有极大值
（II）∵f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
而f′（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1）
∴3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax2+3ax-1
则
∴
∴
解析
解：（I ）a=
对函数求导可得，f′（x）=2x3-6x+4=2（x-1）2（x+2）
当x＞-2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增
x＜-2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-2）上单调递减
x=-2是函数的极小值f（-2）=-12，没有极大值
（II）∵f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax3-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
而f′（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1）
∴3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax2+3ax-1
则
∴
∴
设函数f（x）=aex-x-2（a∈R），其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，且x∈（0，+∝）时，kf′（x）-xf（x）＜（x+1）2恒成立，求整数k的最大值．
正确答案
解：（1）函数f（x）=aex-x-2的导数为f′（x）=aex-1，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，无极值；
当a＞0时，当x＞ln
即有x=ln
即有当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值ln（2a）-
（2）函数f（x）=aex-x-2的导数为f′（x）=aex-1，
在点（0，f（0））处的切线斜率为k=a-1=0，解得a=1，
由x∈（0，+∞）时，kf′（x）-xf（x）＜（x+1）2恒成立，
即k＜
令g（x）=
由（1）知，函数h（x）=ex-x-2在（0，+∞）单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故g‘（x）在（0，+∞）存在唯一的零点a，
且a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g'（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，
所以g（x）min=g（a）=
又由g'（a）=0，即得ea-a-2=0，所以ea=a+2，
这时g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等价k＜g（a），
故整数k的最大值为2．
解析
解：（1）函数f（x）=aex-x-2的导数为f′（x）=aex-1，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，无极值；
当a＞0时，当x＞ln
即有x=ln
即有当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值ln（2a）-
（2）函数f（x）=aex-x-2的导数为f′（x）=aex-1，
在点（0，f（0））处的切线斜率为k=a-1=0，解得a=1，
由x∈（0，+∞）时，kf′（x）-xf（x）＜（x+1）2恒成立，
即k＜
令g（x）=
由（1）知，函数h（x）=ex-x-2在（0，+∞）单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点，故g‘（x）在（0，+∞）存在唯一的零点a，
且a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g'（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g'（x）＞0，
所以g（x）min=g（a）=
又由g'（a）=0，即得ea-a-2=0，所以ea=a+2，
这时g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等价k＜g（a），
故整数k的最大值为2．
扫码查看完整答案与解析