热门试卷

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+4bx-3

∵函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1．

∴f′（1）=0，且f′（-1）=0  

∴，

∴a=1，b=0

此时f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），

可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点；

∴f（x）=x3-3x，

当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，

当-2≤x＜-1或1＜x≤2时，f′（x）＞0，故f（x）在区间[-2，-1）和（1，2]上为增函数，

∴fmax（x）=f（-1）=2，fmin（x）=f（1）=-2

∵对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|=2-（-2）=4．

（2）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），

∵曲线方程为y=x3-3x，∴点A（1，t）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），切线的斜率为3（x02-1）=．（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），

整理得2x03-3x02+t+3=0．

∵过点A（1，t）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件．

设g（x0）=2x03-3x02+t+3，则g′（x0）=6x02-6x0，

由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）=2x03-3x02+t+3的极值点为x0=0，x0=1，

∴关于x0方程2x03-3x02+t+3=0有三个实根的充要条件是，

解得-3＜t＜-2．

故所求的实数t的取值范围是-3＜t＜-2．

解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2-2bx+c，

若f（x）在x=1处取得极值-1，

则，解得b=1，c=-1；

经检验知此时函数f（x）满足条件．

（Ⅱ）（i）证明：切线斜率k=f′（x0）=3x02-2bx0+c，

则切线方程为y-f（x0）=（3x02-2bx0+c）（x-x0），

化简得y=（3x02-2bx0+c）x-2x03+bx02，

由于切线过原点，则-2x03+bx02=0，

解得x0=，

∵若f（x）有三个不同的零点，分别为0，x2，x3，

则x2，x3是方程x2-bx+c=0的两个不同的根，由韦达定理得x2+x3=b，

即x0=成立．

（ii）由（i）知，x2，x3是方程x2-bx+c=0的两个不同的根，

令g（x）=x2-bx+c，由x2，x3属于区间[0，2），

知g（x）的图象与x轴在（0，2）内有两个不同的交点，

则，即，

上述不等式组对应的点（b，c）形成的平面区域如图阴影部分表示：

又=，

令目标函数z=4c-b2，

则c=，

于是问题转化为求抛物线c=的图象如y轴截距的取值范围，

结合图象，截距分别在曲线段OM，N（2，0）处去上，下界，

则z∈（-4，0），

因此∈（-1，0）．

（Ⅰ）解：∵f（x）=ax+xlnx，∴f‘（x）=a+lnx+1．

∵函数f（x）=ax+xlnx在x=处取得极小值，

∴ln+1+a=0，

∴a=0，

∴f（x）=xlnx，

令g（x）=f（x）-bx+e=xlnx-bx+e（x＞0），则g′（x）=lnx+1-b，

由g′（x）＞0得，x＞eb-1，∴g（x）在（eb-1，+∞）上递增，

由g′（x）＜0得，0＜x＜eb-1，∴g（x）在（0，eb-1）上递减，

∴g（x）min=g（eb-1）≥0，

可得b≤2，实数b的取值范围为（-∞，2]．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知b=2，f（x）-bx+e≥0，x=e时等号成立，

∵m，n∈（0，e），且m+n=e，

∴f（m）＞2m-e，f（n）＞2n-e，

∴f（m）+f（n）＞2（m+n）-2e=0，

∴f（m）+f（n）＞0．

（1）解：由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

∴当b＞时，f‘（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；

（2）解：当b≤0时，f′（x）=0有两个不同解，，

∵≤0，，∴舍去x1，

此时 f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：

由此表可知：b≤0时，f（x）有惟一极小值点，

（3）证明：由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）2-lnx，此时f（x）有惟一极小值点：x=

且x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，）为减函数．

∵当n≥3时，0＜1＜1+≤＜

∴恒有f（1）＞f（1+），即恒有0＞-ln（1+）=-[ln（n+1）-lnn]．

∴当n≥3时，恒有ln（n+1）-lnn＞

令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）则h′（x）=

∴x＞1时，h′（x）＞0，又h（x）在x=1处连续，

∴x∈[1，+∞）时，h（x）为增函数

∵n≥3时，1＜1+，∴h（1+）＞h（1），即

∴ln（n+1）-lnn=ln（1+）＜

综上，对任意不小于3的正整数n，不等式＜ln（n+1）-lnn＜都成立．