- 函数的极值与导数的关系
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已知函数
（1）求f（x）的极值
（2）对于数列{an}，
①证明：an＜an+12
②考察关于正整数n的方程an=n是否有解，并说明理由．
正确答案
解：（1）由f′（x）=2kx（
∴f（x）在 （-∞，-
∴f（x）极大=f（0）=1，f（x）极小值=
（2）①当k=1时，f（x）=
由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而an＜an+1
②由an=n，得
因n∈N+，得 n2-1是整数，所以
而n2+n为整数，所以
即方程an=n无解
解析
解：（1）由f′（x）=2kx（
∴f（x）在 （-∞，-
∴f（x）极大=f（0）=1，f（x）极小值=
（2）①当k=1时，f（x）=
由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而an＜an+1
②由an=n，得
因n∈N+，得 n2-1是整数，所以
而n2+n为整数，所以
即方程an=n无解
已知函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c．
（1）若函数f（x）在x=1及x=2时取到极值，求实数a和b的值；
（2）若函数f（x）在x=1时取到极小值，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）f′（x）=6x2+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即
（2）f′（x）=6x2+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1时取到极小值，
∴f′（1）=6+6a+3b=0，
∴b=-2a-2，
∴f′（x）=6x2+6ax-6a-6=6（x-1）（x+a+1），
∴-a-1＜1，解得：a＞-2．
解析
解：（1）f′（x）=6x2+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即
（2）f′（x）=6x2+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1时取到极小值，
∴f′（1）=6+6a+3b=0，
∴b=-2a-2，
∴f′（x）=6x2+6ax-6a-6=6（x-1）（x+a+1），
∴-a-1＜1，解得：a＞-2．
函数g（x）中x∈R，其导函数g′（x）的图象如图，则函数g（x）（ ）
正确答案
解析
解：根据图象可知：当x＜x1时，g′（x）＞0，函数递增，当x＞x1时，g′（x）＜0，函数递减，所以函数在x=x1取极大值；同理可得x=x3时，函数取极大值；
当x＜x2时，g′（x）＜0，函数递减，x＞x2时，g′（x）＞0，函数递增，所以x=x2时，函数有极小值；同理可得x=x4时，函数取极小值．
所以函数有两个极大值，两个极小值．
故选B
已知f（x）=lnx+2px+1（x＞0），若p
正确答案
证明：f（x）=lnx+2px+1（x＞0）的导数为
f′（x）=
由p
f′（x）＞0解得0＜x＜-
f′（x）＜0解得x＞-
则f（x）在（0，+∞）上有极大值，也为最大值，
且为ln（-
则有当x→+∞，f（x）＜0．
解析
证明：f（x）=lnx+2px+1（x＞0）的导数为
f′（x）=
由p
f′（x）＞0解得0＜x＜-
f′（x）＜0解得x＞-
则f（x）在（0，+∞）上有极大值，也为最大值，
且为ln（-
则有当x→+∞，f（x）＜0．
已知函数
（1）求函数的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
正确答案
解：（1）f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
当x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x=-2时，f（x）有极大值f（-2）=-
当x=2时，f（x）有极小值f（2）=
（2）由（1）知，f（x）的单调增区间为：（-∞，-2），（2，+∞）；单调减区间为：（-2，2）．
解析
解：（1）f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
当x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x=-2时，f（x）有极大值f（-2）=-
当x=2时，f（x）有极小值f（2）=
（2）由（1）知，f（x）的单调增区间为：（-∞，-2），（2，+∞）；单调减区间为：（-2，2）．
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