热门试卷

解：（1）

∵a＞2，∴

∴当或x＞1时，f‘（x）＞0；

当时，f'（x）＜0

∴f（x）在，（1，+∞）内单调递增，在内单调递减

故f（x）的极小值为

（2）①若a=0，则f（x）=-3（x-1）2

∴f（x）的图象与x轴只有一个交点．

②若a＜0，则，

∴当时，f'（x）＜0，

当时，f'（x）＞0

∴f（x）的极大值为

∵f（x）的极小值为

∴f（x）的图象与x轴有三个公共点．

③若0＜a＜2，则．

∴当时，f'（x）＞0，

当时，f'（x）＜0

∴f（x）的图象与x轴只有一个交点

④若a=2，则f'（x）=6（x-1）2≥0

∴f（x）的图象与x轴只有一个交点

⑤当a＞2，由（1）知f（x）的极大值为，函数图象与x轴只有一个交点．

综上所述，若a≥0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点；

若a＜0，f（x）的图象与x轴有三个公共点．

（1）证明：f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0，

∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点．

（2）解：f′（x）=acosx-1．

∵函数f（x）在处有极值，

∴=0，即-1=0，解得a=2．

于是f（x）=2sinx-x+b．

①sin（x+）=sinx+cosx，

∴不等式f（x）＞sin（x+）恒成立⇔b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，]恒成立．

记g（x）=x+cosx-sinx，则g′（x）=1-sinx-cosx=1-，

∵x∈[0，]，∴，从而，

∴，

∴g′（x）≤0，即g（x）在[0，]上是减函数．

∴g（x）max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范围是（1，+∞）．

②f′（x）=2cosx-1=，

由f′（x）≥0得cosx，即，k∈Z．

∵函数f（x）在区间（π，π）上是单调增函数，

∴（π，π）⊆，k∈Z．

则有   即．

只有k=0时，0＜m≤1适合，故m的取值范围是（0，1]．

解：（1）f′（x）=．

若a≤-1时，则f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

若-1＜a＜0时，则f（x）在（0，，+∞）上是增函数，在（）上是减函数．

若a＞0时，则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．…（4分）

（2）由f′（x0）==0得：ax02=1-2x0

∴f（x0）=lnx0-．

设φ（x）=lnx-x-（x）＞0．

当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0．

∴φ（x）的最大值为φ（1）=-．--------（9分）

（3）若f′（）=0，则-2=0．

∵lnx1-=3．∴ln

令．

∴H′（t）=＞0∴H（t）＞H（1）=0

故∴，即f′（）≠0-----（14分）

解：（1）∵f（x）=x3+ax2+（2a-1）x，

∴f′（x）=x2+2ax+（2a-1）．

若a=3，f（x）=x3+3x2+5x，f′（x）=x2+6x+5=（x+1）（x+5）．

由f′（x）＞0得x＞-1或x＜-5，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得-5＜x＜-1，此时函数单调递减，

即当x=-5函数取得极大值f（-5）=，

当x=-1函数取得极小值f（-1）=，

（2）由（1）得f（x）=x3+ax2+（2a-1）x，

∴f′（x）=x2+2ax+（2a-1）．

故f′（x）=x2+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）．

令f′（x）=0，则x=-1或x=1-2a．

①当a＞1时，1-2a＜-1．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

由此得，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）．

②当a=1时，1-2a=-1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x=-1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R．

③当a＜1时，1-2a＞-1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）．

综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）；

当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；

当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）．

（3）由（1）知，故M（-5，），N（-1，-）．

所以直线MN的方程为y=-x-5．

由，得x3+9x2+23x+15=0．

令F（x）=x3+9x2+23x+15．

易得F（-4）=3＞0，F（-2）=-3＜0，而F（x）的图象在（-4，-2）内是一条连续不断的曲线，

故F（x）在（-4，-2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．