- 函数的极值与导数的关系
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已知函数f（x）=x3-px2-qx的图象与x轴相切于（1，0）点，则f（x）（ ）
A极大值是
B极大值为0，极小值为
C极大值为0，极小值为-
D极大值为
正确答案
解析
解：对函数求导可得，f′（x）=3x2-2px-q，
由f′（1）=0，f（1）=0可得
∴f（x）=x3-2x2+x．
由f′（x）=3x2-4x+1=0，得x=
当x≥1或x≤
∴当x=
故选A．
若函数f（x）=x-
正确答案
解析
解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1+
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴函数f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，
而f（1）=-1+k，f（2）=1-3ln2+k，
要使f（x）在（0，+∞）有3个零点，
只需
故选：B．
求函数f（x）=
正确答案
解：因为函数f（x）=
所以f‘（x）=x3-9=（x-3）（x+3）
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=3．
由f′（x）＞0，得x＜-3，或x＞3；由f′（x）＜0，得-3＜x＜3．（4分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
（8分）
因此当x=-3时，f（x）有极大值，极大值为f（-3）=19；（10分）
当x=3时，f（x）有极小值，极小值为f（3）=-17．（12分）
解析
解：因为函数f（x）=
所以f‘（x）=x3-9=（x-3）（x+3）
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=3．
由f′（x）＞0，得x＜-3，或x＞3；由f′（x）＜0，得-3＜x＜3．（4分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
（8分）
因此当x=-3时，f（x）有极大值，极大值为f（-3）=19；（10分）
当x=3时，f（x）有极小值，极小值为f（3）=-17．（12分）
函数f（x）=ln2x+2lnx+2的极小值为（ ）
正确答案
解析
解：令f′（x）=
当x变化时，f（x）及f′（x）的变化情况如下表：
所以得到函数f（x）的极小值为f（e-1）=（lne-1）2+2lne-1+2=1-2+2=1．
故选D
已知f（x）=-
（1）若a=2，求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）是单调函数，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）a=2，f（x）=-
∴f′（x）=-x+3-
∴x=1时，函数取得极小值2.5，x=2时，函数取得极大值4-2ln2；
（2）f′（x）=-
∴0＜a＜1时，可得（0，a），（1，+∞）上，f′（x）＜0，（a，1）上，f′（x）＞0，函数的单调减区间为（0，a），（1，+∞）；单调增区间为（a，1）；
a=1时，f′（x）＜0，∴单调减区间为（1，+∞）；
a＞1时，可得（0，1），（a，+∞）上，f′（x）＜0，（1，a）上，f′（x）＞0，函数的单调减区间为（0，1），（a，+∞）；单调增区间为（1，a）；
（3）由（2）知a=1，f（x）是单调函数．
解析
解：（1）a=2，f（x）=-
∴f′（x）=-x+3-
∴x=1时，函数取得极小值2.5，x=2时，函数取得极大值4-2ln2；
（2）f′（x）=-
∴0＜a＜1时，可得（0，a），（1，+∞）上，f′（x）＜0，（a，1）上，f′（x）＞0，函数的单调减区间为（0，a），（1，+∞）；单调增区间为（a，1）；
a=1时，f′（x）＜0，∴单调减区间为（1，+∞）；
a＞1时，可得（0，1），（a，+∞）上，f′（x）＜0，（1，a）上，f′（x）＞0，函数的单调减区间为（0，1），（a，+∞）；单调增区间为（1，a）；
（3）由（2）知a=1，f（x）是单调函数．
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