函数的极值与导数的关系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（2015•西城区一模）设函数f（x）=，则f[f（-1）]=______；函数f（x）的极小值是______．

正确答案

2

解析

解：函数f（x）=，

则f（-1）=-1+4=3，

f[f（-1）]=f（3）=3+=，

当x＞0时，y=x+，y′=1-，

当0＜x＜1时y′＜0，函数递减，

当x＞1时y′＞0，函数递增，

即有x=1处f（x）取得极小值，且为2，

当x＜0，y=-x2-4x的导数为y′=-2x-4，

当-2＜x＜0时，y′＜0，函数递减；

当x＜-2时，y′＞0，函数递增．

即有x=-2处f（x）取得极大值，且为4．

故答案为：，2．

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题型：填空题

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填空题

如图，x=±1是函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x•f′（x）＞0的解集为______．

正确答案

（-∞，-1）∪（0，1）

解析

解：由题意，不等式x•f‘（x）＞0等价于或

根据图象可知（-1，1）时，f'（x）＞0；（-∞，-1）或（1，+∞）时，f'（x）＜0；

∴或

∴0＜x＜1，或x＜-1

故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2，当x=-1时，f（x）的极大值为7．求：

（1）a，b的值；

（2）函数f（x）的极小值．

正确答案

解：（1）由题意，f（x）=x3+ax2+bx+2，f′（x）=3x2+2ax+b，

则，

解得，a=-3，b=-9；

（2）由（1）知，f（x）=x3-3x2-9x+2，

f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），

则当-1＜x＜3时，f′（x）＜0；

当x＞3时，f′（x）＞0，

故当x=3时，函数f（x）有极小值，极小值为f（3）=-25．

解析

解：（1）由题意，f（x）=x3+ax2+bx+2，f′（x）=3x2+2ax+b，

则，

解得，a=-3，b=-9；

（2）由（1）知，f（x）=x3-3x2-9x+2，

f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），

则当-1＜x＜3时，f′（x）＜0；

当x＞3时，f′（x）＞0，

故当x=3时，函数f（x）有极小值，极小值为f（3）=-25．

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题型：简答题

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简答题

已知a为实数，f（x）=（x2-4）（x-a）．

（1）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

（2）若函数g（x）=f（x）+ax2在定义域内有三个零点，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，

∴x∈（-∞，-2]时，f‘（x）=3x2-2ax-4≥0，即：恒成立；

且x∈[2，+∞）时，f'（x）=3x2-2ax-4≥0，即：也恒成立；

令，则x∈（-∞，-2]时，g（x）为增函数，

g（x）max=-2；x∈[2，+∞）时，g（x）为增函数，g（x）min=2

∴-2≤a≤2，故a的取值范围为[-2，2]．

（2）∵g（x）=f（x）+ax2=x3-4x+4a，得g'（x）=3x2-4，

令g′（x）=0，得，

当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

∴

∵g（x）在R上有三个零点，则∴

即∴．

解析

解：（1）∵f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，

∴x∈（-∞，-2]时，f‘（x）=3x2-2ax-4≥0，即：恒成立；

且x∈[2，+∞）时，f'（x）=3x2-2ax-4≥0，即：也恒成立；

令，则x∈（-∞，-2]时，g（x）为增函数，

g（x）max=-2；x∈[2，+∞）时，g（x）为增函数，g（x）min=2

∴-2≤a≤2，故a的取值范围为[-2，2]．

（2）∵g（x）=f（x）+ax2=x3-4x+4a，得g'（x）=3x2-4，

令g′（x）=0，得，

当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

∴

∵g（x）在R上有三个零点，则∴

即∴．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

正确答案

解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，x∈（-1，+∞）．

=．

令g（x）=2ax2+ax-a+1．

（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．

（2）当a＞0时，△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．

①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．

②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．

∵x1+x2=，

∴，．

由g（-1）＞0，可得-1＜x1．

∴当x∈（-1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

因此函数f（x）有两个极值点．

（3）当a＜0时，△＞0．由g（-1）=1＞0，可得x1＜-1＜x2．

∴当x∈（-1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

因此函数f（x）有一个极值点．

综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；

当0≤a时，函数f（x）无极值点；

当a时，函数f（x）有两个极值点．

（II）由（I）可知：

（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

∵f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．

（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

又f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．

（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，

∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．

又f（0）=0，

∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；

（4）当a＜0时，设h（x）=x-ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．

因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，

可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x，

当x＞时，

ax2+（1-a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．

综上所述，a的取值范围为[0，1]．

解析

解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，x∈（-1，+∞）．

=．

令g（x）=2ax2+ax-a+1．

（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．

（2）当a＞0时，△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．

①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．

②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．

∵x1+x2=，

∴，．

由g（-1）＞0，可得-1＜x1．

∴当x∈（-1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

因此函数f（x）有两个极值点．

（3）当a＜0时，△＞0．由g（-1）=1＞0，可得x1＜-1＜x2．

∴当x∈（-1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

因此函数f（x）有一个极值点．

综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；

当0≤a时，函数f（x）无极值点；

当a时，函数f（x）有两个极值点．

（II）由（I）可知：

（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

∵f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．

（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

又f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．

（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，

∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．

又f（0）=0，

∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；

（4）当a＜0时，设h（x）=x-ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．

因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，

可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x，

当x＞时，

ax2+（1-a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．

综上所述，a的取值范围为[0，1]．

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