- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
设函数f （x）=x3-3x（x∈R），若关于x的方程f （x）=a有3个不同的实根，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-2，2）
解析
解：令g（x）=f（x）-a=x3-3x-a
对函数求导，g′（x）=3x2-3=0，x=-1，1．
x＜-1时，g（x）单调增，-1＜x＜1时，单减，x＞1时，单增，
要有三个不等实根，则g（-1）=-1+3-a＞0且g（1）=1-3-a＜0．
解得-2＜a＜2
故答案为：（-2，2）．
已知函数f（x）=ex-ln（x+m）．设x=0是f（x）的极值点，
（1）求m；
（2）并讨论f（x）的单调性．
正确答案
解：（1）∵函数f（x）=ex-ln（x+m），
∴
又∵x=0是f（x）的极值点，
∴f′（0）=1-
（2）由（1）知，函数f（x）=ex-ln（x+1），其定义域为（-1，+∞）．
∵f′（x）=ex-
设g（x）=ex（x+1）-1，
则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，
则g（x）在（-1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）=0，
∴当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
故f（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．
解析
解：（1）∵函数f（x）=ex-ln（x+m），
∴
又∵x=0是f（x）的极值点，
∴f′（0）=1-
（2）由（1）知，函数f（x）=ex-ln（x+1），其定义域为（-1，+∞）．
∵f′（x）=ex-
设g（x）=ex（x+1）-1，
则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，
则g（x）在（-1，+∞）上为增函数，
又∵g（0）=0，
∴当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
故f（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．
对于函数f（x）=x3-3x2，给出下列四个命题：
①f（x）是增函数，无极值；
②f（x）是减函数，有极值；
③f（x）在区间（-∞，0]及[2，+∞）上是增函数；
④f（x）有极大值为0，极小值-4；
其中正确命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=x3-3x2，
∴f′（x）=3x2-6x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．
∴f（x）极大值=f（0）=0，f（x）极小值=f（2）=-4．
故①②错误，③④正确．
故选：B．
已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数f（x）=
正确答案
解析
∴f′（x）=x2-2ax+b，
∵函数f（x）=
x2-2ax+b=0的两个根都在（0，1）内，
∴两根之和2a∈（0，2），两根之积b∈（0，1），
∴
∵实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，
∴如图所示，区域-1≤a≤1，-1≤b≤1的面积（图中正方形所示）为4，
a2＞b在条件0＜a＜1，0＜b＜1下的面积（图中阴影所示）为：∫01x2dx=
∴
故答案为：
已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）=f（x）•f‘（x）的最小值及相应的x值的集合；
（2）若f（x）=2f′（x），求
正确答案
解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f‘（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=f（x）•f'（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴当2x=-π+2kπ（k∈Z），即
相应的x值的集合为
（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，故
∴
解析
解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f‘（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=f（x）•f'（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴当2x=-π+2kπ（k∈Z），即
相应的x值的集合为
（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，故
∴
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