热门试卷

解：（Ⅰ）f（x）=ex（x3-2x2-2x+2）；

∴f′（x）=xex（x-2）（x+3）；

∴x∈（-∞，-3）时，f′（x）＜0；x∈（-3，0）时，f′（x）＞0，∴x=-3时，f（x）取到极小值f（-3）=-37e-3；

x∈（0，2）时，f′（x）＜0，∴x=0时，f（x）取到极大值f（0）=2；

x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，∴x=2时，f（x）取到极小值f（2）=-2e2．

（Ⅱ）f′（x）=xex[x2+（m+3）x+2m-2]；

∴要使f（x）在[-2，-1]上单调递增，则：f′（x）≥0，∵xex＜0；

只要x2+（m+3）x+2m-2≤0；

∴；

解得m≤4，∴m的取值范围是（-∞，4]．

解：（1）由，所以．

定义域为（0，+∞），

由f′（x）=0，得x-2a=0，即x=2a．

所以，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以在（0，+∞）上f（x）有极小值点x=2a，由已知x=2是函数f（x）的极值点，

所以2a=2，则a=1；

（2）由，所以．

若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则在[2，+∞）恒成立，

即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是在[2，+∞）恒成立，

所以a≤1．

所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（-∞，1]；

（3）由（2）知，以，

若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，

f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；

若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．

当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，

当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以当2a≤1，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，

最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；

当2a≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]上为减函数，

最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；

当1＜2a＜e，即时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意．

综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．