- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=x-
（1）当c=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在c，使得k=2+c？若存在，求出c的值，若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）当c=0时，f（x）=x-
f′（x）=1+
所以切线方程为y+3=5（x-3），即5x-y-8=0
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+
令g（x）=x2+cx+4，其判别式△=c2-16
①当-4≤c≤4时，△≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当c＞4时，△＞0，g（x）=0的两根都小于0，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当c＜-4时，△＞0，设g（x）=0的两根为x1=
当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；
当x＞x2时，f′（x）＞0；，
故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递 减．
（3）由（2）可知：当c＜-4时，f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，
因为f（x1）-f（x2）=x1-x2+
所以k=
由（2）可知：x1x2=4，于是k=2+c
若存在c，使得k=2+c，则
即lnx1-lnx2=x1-x2，
亦即
设函数h（t）=
当t＞2时，h′（t）=1+
所以h（t）在（2，+∞）上单调递增，
而x2＞2，所以
这与①式矛盾．故不存在c，使得k=2+c．
解析
解：（1）当c=0时，f（x）=x-
f′（x）=1+
所以切线方程为y+3=5（x-3），即5x-y-8=0
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+
令g（x）=x2+cx+4，其判别式△=c2-16
①当-4≤c≤4时，△≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当c＞4时，△＞0，g（x）=0的两根都小于0，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当c＜-4时，△＞0，设g（x）=0的两根为x1=
当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；
当x＞x2时，f′（x）＞0；，
故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递 减．
（3）由（2）可知：当c＜-4时，f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，
因为f（x1）-f（x2）=x1-x2+
所以k=
由（2）可知：x1x2=4，于是k=2+c
若存在c，使得k=2+c，则
即lnx1-lnx2=x1-x2，
亦即
设函数h（t）=
当t＞2时，h′（t）=1+
所以h（t）在（2，+∞）上单调递增，
而x2＞2，所以
这与①式矛盾．故不存在c，使得k=2+c．
函数f（x）=x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（-3，-2）∪（-1，0）
解析
解：函数f（x）=x2ex的导数为y′=2xex+x2ex =xex （x+2），
令y′=0，则x=0或-2，
-2＜x＜0上单调递减，（-∞，-2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或-2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜-2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴-3＜a＜-2或-1＜a＜0．
故答案为：（-3，-2）∪（-1，0）．
函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为（ ）
A
B
C
D以上都不对
正确答案
解析
解：函数f（x）=x3-ax2-bx+a2，f′（x）=3x2-2ax-b，
函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，
可得：
解得
当
当
故选：B．
若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有三个单调区间，则a的取值范围是______．
正确答案
{a|a＜-1或a＞2}
解析
又f（x）有三个单调区间，如图：
∴f′（x）=0有两个不相等的实数根；
∴（6a）2-4×3×3（a+2）＞0，即a2-a-2＞0；
解得，a＜-1，或a＞2；
∴a的取值范围是：{a|a＜-1或a＞2}．
故答案为：{a|a＜-1或a＞2}．
设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R）其中a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值和极小值．
（2）当a=0时，不等式f（k-cosx）+f（cos2x-k2）≥0对任意x∈R恒成立．求k的取值范围．
正确答案
解：（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x…（2分）
令f′（x）=-3x2+4x-1＞0，即3x2-4x+1＜0，∴
∴f（x）的增区间为
∴当
（2）当a=0时，f（x）=-x3为奇函数，在x∈R为减函数…（7分）
∴由f（k-cosx）+f（cos2x-k2）≥0有f（k-cosx）≥-f（cos2x-k2）=f（k2-cos2x），
∴k-cosx≤k2-cos2x，即k2-k≥cos2x-cosx恒成立…（9分）
∵
∴k2-k≥2，k2-k-2≥0，k≤-1或k≥2…（10分）
∴k的取值范围为k≤-1或k≥2…（12分）
解析
解：（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x…（2分）
令f′（x）=-3x2+4x-1＞0，即3x2-4x+1＜0，∴
∴f（x）的增区间为
∴当
（2）当a=0时，f（x）=-x3为奇函数，在x∈R为减函数…（7分）
∴由f（k-cosx）+f（cos2x-k2）≥0有f（k-cosx）≥-f（cos2x-k2）=f（k2-cos2x），
∴k-cosx≤k2-cos2x，即k2-k≥cos2x-cosx恒成立…（9分）
∵
∴k2-k≥2，k2-k-2≥0，k≤-1或k≥2…（10分）
∴k的取值范围为k≤-1或k≥2…（12分）
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