热门试卷

解：（Ⅰ），由题意：a≠0，又

①当a＜0时，，f‘（x）=0两根异号，不合题意；

②当a＞0时，可知△=16-4a＞0，即0＜a＜4，

此时由f′（x）=0得，，，（4分）

由下表

故当0＜a＜4时，函数f（x）的两个极值点．（6分）

（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得“∃a∈（0，4），使ax2-4x+1≥0对x∈[b，b+2]恒成立”，

即 a＞-+=-+4 恒成立，由[b，b+2]⊂（0，+∞）得b＞0，

又恒成立，

∴，，或，从而．（13分）

解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=

令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为x=-．

由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，

其充要条件为△=4-8a＞0且g（-1）=a＞0，得0＜a＜        …（2分）

（1）当x∈（-1，x1）时，f‘（x）＞0，∴f（x）在（-1，x1）内为增函数；

（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；

（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；

（Ⅱ）由（I）g（0）=a＞0，∴-＜x2＜0，a=-（2x22+2x2）

∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）

设h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x）（x＞-），…（8分）

则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）…（10分）

（1）当x∈（-，0）时，h'（x）＞0，∴h（x）在（-，0）单调递增；

（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减 …（12分）

∴当x∈（-，0）时，h（x）＞h（-）=

故f（x2）=h（x2）＞．    …（14分）

解：（I）由得得，

∴f（x）=x3+2x2+x．

则f‘（x）=3x2+4x+1，由f'（x）=0得x=-1或x=-

．

（II）∵α，β∈R，∴-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1，

由（I）知f（x）在[-1，1]上的最大，最小值分别为，

∴．