热门试卷

解：∵f′（x）=x2+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，

又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①

∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x2+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b＞0∴a2+b＞0②

由①．②可得，a2+2a＞0∴a＜-2或a＞0

故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）

（2）存在a=-

∵f′（x）=x2+2ax-b，令f′（x）=0∴x1=-a-，x2=-a+

∴f（x）极小=f（x2）=+ax22-2ax2+1=1

∴x2=0或x22+3ax2-6a=0

若x2=0，即-a+=0，则a=0（舍）

若x22+3ax2-6a=0，又f′（x2）=0，∴x22+2ax2-2a=0，

∴ax2-4a=0

∵a≠0∴x2=4

∴-a+=4

∴a=-＜-2

∴存在实数a=-，使得函数f（x）的极小值为1．

（3）∵a=，f′（x）=x2+x-1，∴f′（x+1）=x2+3x+1，∴-3==x+∴g（x）=x+，x∈（0，+∞）．

证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立，

假设当n=k时结论成立，即-xk-≥2k-2

当n=k+1时，左边=-xk+1-≥（x+）（2k-2+xk+）-（xk+1+）=（x+）（2k-2）+xk-1+≥2k+1-4+2=2k+1-2

当且仅当x=1时等号成立，即当n=k+1时原式也成立

综上当n∈N+时，gn（x）-xn-≥2n-2成立．

解：（1）∵

当a=0时，f（x）=2x-lnx，则（2分）

∴x，f‘（x），f（x）的变化情况如下表

（5分）

∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．（7分）

（2）由已知，得，且x＞0，则（9分）

∵函数f（x）是减函数

∴f'（x）≤0对x＞0恒成立，即不等式为对恒成立（11分）

由二次函数的性质可得（13分）

解得a≤-1，即a的取值范围是（-∞，-1]（14分）

另解：对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，即

解：（Ⅰ），

∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0

  即 a+a-2=0，解得  a=1

（Ⅱ），

∵x≥0，a＞0，

∴ax+1＞0

①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．

∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）

②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得

由

∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为

（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1

当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，

综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）