- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
（文）已知函数
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）试判断m，n的大小并说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）因为f′（x）=x（x-1）
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0；
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减
要使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0
（Ⅱ）n＞m．
因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，
在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值
又
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n
解析
解：（Ⅰ）因为f′（x）=x（x-1）
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0；
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减
要使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0
（Ⅱ）n＞m．
因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，
在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值
又
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n
（2015春•济宁期末）已知函数f（x）=ex（x2-ax+1）（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为3x+y-1=0．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求实数f（x）的极值．
正确答案
解：（Ⅰ）f′（x）=ex[x2+（2-a）x+1-a]，
而切线方程为3x+y-1=0，斜率k=-3，
∴f′（0）=1-a=-3，解得：a=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
f（x）=ex（x2-4x+1），f′（x）=ex（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减，
∴f（x）极小值=f（3）=-
解析
解：（Ⅰ）f′（x）=ex[x2+（2-a）x+1-a]，
而切线方程为3x+y-1=0，斜率k=-3，
∴f′（0）=1-a=-3，解得：a=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
f（x）=ex（x2-4x+1），f′（x）=ex（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减，
∴f（x）极小值=f（3）=-
（2015春•昆明校级期中）函数
正确答案
解析
解：求函数
当0＜x＜1时，y′＜0，当x＞1时，y′＞0
∴函数
故选A
设函数f（x）=
Ax=
Bx=2为f（x）的极大值点
Cf（x）的单减区间为（-∞，2]
Df（x）＞0恒成立
正确答案
解析
解：f′（x）=-
当0＜x＜2时f′（x）＜0，当x＞2时f′（x）＞0，
所以当x=2时f（x）取得极小值f（2）=1+ln2，也为最小值，
又f（2）=1+ln2＞0，所以f（x）≥f（2）＞0恒成立，
故选D．
已知函数f（x）=x3-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若y=f（x）在x=1在处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
正确答案
【答案】（1）由题知：f‘（x）=3x2-3a=3（x2-a），
①当a＜0时，对∀x∈R，恒有f'（x）＞0，
即当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
②当a＞0时，
解f'（x）＞0得，
解f'（x）＜0得，
即当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（
f（x）的单调递增区间为（-∞，
（2）∵y=f（x）在 x=1处取得极值，
∴f'（1）=3-3a=0，
则a=1．
即f（x））=x3-3x-1，f'（x）=3x2-3；
解f'（x）=0得，x=±1．
由（1）知：f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1；在x=1处取得极小值f（1）=-3
∵直线y=m与y=f（x）函数的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可得，-3＜m＜1．
所以m的范围为（-3，1）．
解析
【答案】（1）由题知：f‘（x）=3x2-3a=3（x2-a），
①当a＜0时，对∀x∈R，恒有f'（x）＞0，
即当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
②当a＞0时，
解f'（x）＞0得，
解f'（x）＜0得，
即当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（
f（x）的单调递增区间为（-∞，
（2）∵y=f（x）在 x=1处取得极值，
∴f'（1）=3-3a=0，
则a=1．
即f（x））=x3-3x-1，f'（x）=3x2-3；
解f'（x）=0得，x=±1．
由（1）知：f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1；在x=1处取得极小值f（1）=-3
∵直线y=m与y=f（x）函数的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可得，-3＜m＜1．
所以m的范围为（-3，1）．
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