平行线等分线段定理
共84题

平行线等分线段定理
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题型：简答题

简答题

在▱ABCD的对角线BD的延长线上取点E，F，使BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形．

正确答案

证明：连接A、C，设AC与BD交于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，

又∵BE=DF，∴OE=OF．

∴四边形AECF是平行四边形．

解析

证明：连接A、C，设AC与BD交于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，

又∵BE=DF，∴OE=OF．

∴四边形AECF是平行四边形．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则DE：BC的值为（　　）

A1：

B1：2

C1：3

D1：4

正确答案

解析

解：根据题意，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，

则S△ADE：S△ABC=1：4

∵DE∥BC

则△ADE∽△ABC

设相似比是k

则面积的比是k2=1：4

因而相似比是1：2

∴DE：BC=1：2．

故选：B．

题型：填空题

填空题

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=4．过AC与BD的交点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，则EF=______．

正确答案

解析

解：∵EF∥AB∥DC，

∴△OAB∽△OCD，△OAE∽△CAD

∴OA：OC=AB：DC=3：4

OE：DC=OA：CA=3：7

∴EF=2××4=，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC到D，使CD=BC，CE⊥BD，交AD于E，连接BE，交AC于点F，求证：AF=FC．

正确答案

证明：取BC的中点H，连接AH，

∵AB=AC，

∴AH⊥BC

∵CE⊥BD，

∴AH∥EC，

∵CD=BC

∴CD=2CH

∴DE=2AE，

取ED的中点M，连接CM

∵CE⊥BD，

∴M为ED中点，

∴ME=AE

∵C为BD 的中点，

∴CM∥BE，

∴F为AC中点．

∴AF=FC

解析

证明：取BC的中点H，连接AH，

∵AB=AC，

∴AH⊥BC

∵CE⊥BD，

∴AH∥EC，

∵CD=BC

∴CD=2CH

∴DE=2AE，

取ED的中点M，连接CM

∵CE⊥BD，

∴M为ED中点，

∴ME=AE

∵C为BD 的中点，

∴CM∥BE，

∴F为AC中点．

∴AF=FC

题型：简答题

简答题

如图，已知实数t满足t∈（0，10），由t确定的两个任意点P（t，t），Q（10-t，0），问：

（1）直线PQ是否能通过点M（6，1）和点N（4，5）？

（2）在△OPQ中作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．

求图中阴影部分面积的最大值并求对应的顶点A、B、C、D的坐标．

正确答案

解：（1）直线PQ方程：tx-（2t-10）y+t2-10t=0

若通过点M，则得：t2-6t+10=0，t无解

若通过点N，则得：（舍）

故：直线PQ一定不过点M，当时可以过点N..（5分）

（2）设边长为a，则A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）

把点C坐标代人直线PQ得：t2-10t=-10a

又，

由t∈（0，10）且10-t≥t知t∈（0，5]，则

故当时，S阴取最大值，此时所求的对应坐标为…（10分）

解析

解：（1）直线PQ方程：tx-（2t-10）y+t2-10t=0

若通过点M，则得：t2-6t+10=0，t无解

若通过点N，则得：（舍）

故：直线PQ一定不过点M，当时可以过点N..（5分）

（2）设边长为a，则A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）

把点C坐标代人直线PQ得：t2-10t=-10a

又，

由t∈（0，10）且10-t≥t知t∈（0，5]，则

故当时，S阴取最大值，此时所求的对应坐标为…（10分）

题型：简答题

简答题

已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE．求证：MN=MB．

正确答案

证明：因为正方形ABCD，所以AE∥CD

因为MN∥AE，所以MN∥CD

所以MN：CD=EM：ED，BM：AD=EM：ED

因为在正方形里CD=AD

所以MN=BM．

解析

证明：因为正方形ABCD，所以AE∥CD

因为MN∥AE，所以MN∥CD

所以MN：CD=EM：ED，BM：AD=EM：ED

因为在正方形里CD=AD

所以MN=BM．

题型：简答题

简答题

如图，AD平分∠ABC，DE∥AC，EF∥BC，AB=15cm，AF=4cm，求BE和DE的长．

正确答案

解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，

因为DE∥AC，所以∠CAD=∠ADE，所以AE=DE （等腰三角形），

又因DE∥AC，EF∥BC 所以四边形CDEF为平行四边形，

因此CF=DE=AE，

因为EF∥BC，

所以，

所以

所以AE=6，所以BE=9，DE=6．

解析

解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，

因为DE∥AC，所以∠CAD=∠ADE，所以AE=DE （等腰三角形），

又因DE∥AC，EF∥BC 所以四边形CDEF为平行四边形，

因此CF=DE=AE，

因为EF∥BC，

所以，

所以

所以AE=6，所以BE=9，DE=6．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：=．

正确答案

证明：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，如图所示．

∵AD∥CE，∴=．

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

在△BCE中，由AD∥CE知，

∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∴∠ACE=∠E，∴AE=AC．

∴==．

故=．

解析

证明：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，如图所示．

∵AD∥CE，∴=．

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

在△BCE中，由AD∥CE知，

∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∴∠ACE=∠E，∴AE=AC．

∴==．

故=．

题型：单选题

单选题

如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（　　）

正确答案

解析

解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴AD：AB=AE：AC，

而AD：AB=3：4，AE=6，

∴3：4=6：AC，

∴AC=8．

故选D．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=4，DE=2，DF=1，则AB的长为______．

正确答案

解析

解：∵△ABC中，DE=BC，且DE∥BC，

∴AD=BD，AE=CE

∵△ADC中，EF∥CD，AE=CE

∴AF=DF=1，得AD=2

结合AD=BD=AB，可得AB=4

故答案为：4

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