- 柱坐标系与球坐标系简介
- 共134题
已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ,则曲线C1与C2交点的个数为______个.
正确答案
∵曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ,
又x=pcosθ,y=psinθ,分别代入消去p和θ,可得,
x=3和x2+y2=4x,
∴把x=3代入x2+y2=4x得,
y=±,
∴曲线C1与C2交点的个数为2个.
故答案为2.
极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C2的参数方程为(其中t为参数,α为字母常数且α∈[0,π))
(1)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程;
(2)当曲线C1和曲线C2没有公共点时,求α的取值范围.
正确答案
解析:(1)由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ
所以x2+y2=2x,即曲线C1:x2+y2-2x=0
曲线C2:(tanα)x-y+-2tanα=0…(4分)
…(8分)
…(10分)
若曲线的参数方程为,0≤θ<2π,则该曲线的普通方程为______.
正确答案
因为sinθ=2sincos,且-1≤sinθ≤1,
∴y=1+x,-1≤x≤1,
则该曲线的普通方程为x-y+1=0,-1≤x≤1
故答案为:x-y+1=0,-1≤x≤1
直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρ=4cosθ
(1)若点A(1,),点P是曲线C上任一点,求
AP
2的取值范围;
(2)若直线l的参数方程是,(t为参数),且直线l与曲线C有两个交点M、N,且•=0,求m的值.
正确答案
(1)点A(1,)化成直角坐标为(0,1),曲线C:p=4cosθ化成直角方程为(x-2)2+y2=4.(2分)
当直线AP过圆心C(2,0)时,
AP
2最大(或最小).
再根据|AC|=,可得-2≤||≤+2,
∴
AP
2的取值范围为[9-4,9+4].(6分)
(2)把直线l的参数方程化成普通方程为x-y-m=0,又直线l与曲线C有两个交点M、N,且•=0,
则:圆心C(2,0)到直线l的距离为;
即:=,
∴m=0或4.(12分)
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知向量在矩阵M=变换下得到的向量是.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程.
(2)选修4-4:极坐标与参数方程
在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点M的极坐标为(4,),曲线C的参数方程为(α为参数).
(Ⅰ)求直线OM的直角坐标方程;
(Ⅱ)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲
设实数a,b满足2a+b=9.
(Ⅰ)若|9-b|+|a|<3,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a,b>0,且z=a2b,求z的最大值.
正确答案
(1)(Ⅰ)因为 =,
所以,=,即m=1.…(3分)
(Ⅱ)因为M=,所以M-1=.…(4分)
设曲线y2-x+y=0上任意一点(x,y)在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是(x',y').
由==,…(5分)
所以得代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'.…(6分)
由(x,y)的任意性可知,曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x.…(7分)
(2)(Ⅰ)由点M的极坐标为(4,)得点M的直角坐标为(4,4),
所以直线OM的直角坐标方程为y=x.…(3分)
(Ⅱ)由曲线C的参数方程(α为参数)
化为普通方程为(x-1)2+y2=2,…(5分)
圆心为A(1,0),半径为r=.
由于点M在曲线C外,故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-.…(7分)
(3)(Ⅰ)由2a+b=9得9-b=2a,即|6-b|=2|a|.
所以|9-b|+|a|<3可化为3|a|<3,即|a|<1,解得-1<a<1.
所以a的取值范围-1<a<1.…(4分)
(Ⅱ)因为a,b>0,所以z=a2b=a•a•b≤()3=()3=33=27,…(6分)
当且仅当a=b=3时,等号成立.
故z的最大值为27.…(7分)
(1)选修4-2:矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2,λ2=-1,它们所对应的特征向量分别为e1=和e2=.
(I)求矩阵A;
(II)求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),C2的参数方程为(t为参数)
(I)若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),分别得到曲线C′1和C′2,求出曲线C′1和C′2的普通方程;
(II)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R,
(I)求关于x的不等式f(x)≤5的解集;
(II)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.
正确答案
(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
(I)设A=(),由A=λ1,A=λ2得:
=2=,=-1×=,
∴,故A=…4分
(II)设曲线x2+y2=1上任意一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得到的点为(x′,y′),则=,即,
∴,从而(
1
2
x′)2+(-y′)2=1,即+y′2=1,
∴新曲线方程为+y2=1…7分
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
∵(Ⅰ)C1:(θ为参数),C2:(t为参数,
∴C1的普通方程为x2+y2=1,C2的普通方程为y=x-1…4分
(Ⅱ)在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x,
在极坐标系中,直线化为tanθ=1,方程为θ=或θ=…7分
(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ)或或,
∴不等式的解集为x∈[-,]…4分
(Ⅱ)若g(x)=的定义域为R,则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,
又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,
∴f(x)的最小值为2,
∴m<-2…7分.
选修4-4:
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中,曲线C1为x=acosφ,y=sinφ(1<a<6,φ为参数).
在以0为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C2的方程为ρ=6cosθ,射线ι为θ=α,ι与C1的交点为A,ι与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.
(1)求C1,C2的直角坐标方程;
(2)若过点P(1,0)且斜率为的直线m与曲线C1交于D、E两点,求|PD|与|PE|差的绝对值.
正确答案
(1)由曲线C2的方程:ρ=6cosθ得 ρ2=6ρcosθ,所以C2的直角坐标方程是 x2+y2-6x=0.--(2分)
由已知得C1的直角坐标方程是+y2=1,
当a=0时射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标为A(a,0)、B (6,0),-----(3分)
∵|AB|=4,∴a=2,∴C1的直角坐标方程是 +y2=1.①----(5分)
(2)m的参数方程为 (t为参数),②-------(7分)
将②带入①得13t2+4t-12=0,设D、E 点的参数分别是t1、t2,
则有 t1+t2=-,t1•t2=-.-------(8分)
∴|PD|-|PE|=|t1+t2|=.------(10分)
选修4-2:矩阵与变换
在平面直角坐标系xoy中,求圆C的参数方程为(θ为参数,r>0),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=2,若直线l与圆C相切,求r的值.
正确答案
由ρcos(θ+)=2,得ρ(cosθ-sinθ)=2,
即ρcosθ-ρsinθ-4=0,即x-y-4=0,
所以直线的普通方程为x-y-4=0,
由,得,①2+②2得,(x+1)2+y2=r2,
所以圆的普通方程为(x+1)2+y2=r2,
由题设知:圆心C(-1,0)到直线l的距离为r,即r==,
即r的值为.
(坐标系与参数方程选做题)
若以直角坐标系的x轴的非负半轴为极轴,曲线l1的极坐标系方程为ρsin(θ-)=(ρ>0,0≤θ≤2π),直线l2的参数方程为(t为参数),则l1与l2的交点A的直角坐标是______.
正确答案
把曲线l1的极坐标系方程为ρsin(θ-)=(ρ>0,0≤θ≤2π),化简可得 ρsinθcos-ρcosθsin=,即 y=x+1.
由于直线l2的参数方程为(t为参数),消去参数化为普通方程为 x+y=3,
再由 ,可得 ,故l1与l2的交点A的直角坐标是(1,2),
故答案为 (1,2).
已知圆C的参数方程为(θ为参数),
(1)以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出圆C的极坐标方程;
(2)已知直线l经过原点O,倾斜角α=,设l与圆C相交于A、B两点,求O到A、B两点的距离之积.
正确答案
(1)由 得 ,
两式平方后相加得(x-)2+y2=4,…(4分)
∴曲线C是以(,0)为圆心,半径等于2的圆.令x=ρcosθ,y=ρsinθ,
代入并整理得ρ2-2ρCOSθ-1=0.
即曲线C的极坐标方程是ρ2-2ρCOSθ-1=0 …(10分)
(2)直线的参数方程是 (t是参数).
因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2,
圆化为直角坐标系的方程(x-)2+y2=4,
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到 t2+3t-1=0 ①,
因为1和t2是方程①的解,从而 t1t1=-2.
所以|OA||OB|=t1t2|=|-1|=1.
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