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题型:填空题
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填空题

已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ,则曲线C1与C2交点的个数为______个.

正确答案

∵曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ,

又x=pcosθ,y=psinθ,分别代入消去p和θ,可得,

x=3和x2+y2=4x,

∴把x=3代入x2+y2=4x得,

y=±

∴曲线C1与C2交点的个数为2个.

故答案为2.

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题型:简答题
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简答题

极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C2的参数方程为(其中t为参数,α为字母常数且α∈[0,π))

(1)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程;

(2)当曲线C1和曲线C2没有公共点时,求α的取值范围.

正确答案

解析:(1)由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ

所以x2+y2=2x,即曲线C1:x2+y2-2x=0

曲线C2:(tanα)x-y+-2tanα=0…(4分)

…(8分)

…(10分)

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题型:填空题
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填空题

若曲线的参数方程为,0≤θ<2π,则该曲线的普通方程为______.

正确答案

因为sinθ=2sincos,且-1≤sinθ≤1,

∴y=1+x,-1≤x≤1,

则该曲线的普通方程为x-y+1=0,-1≤x≤1

故答案为:x-y+1=0,-1≤x≤1

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题型:简答题
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简答题

直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρ=4cosθ

(1)若点A(1,),点P是曲线C上任一点,求

AP

2的取值范围;

(2)若直线l的参数方程是,(t为参数),且直线l与曲线C有两个交点M、N,且=0,求m的值.

正确答案

(1)点A(1,)化成直角坐标为(0,1),曲线C:p=4cosθ化成直角方程为(x-2)2+y2=4.(2分)

当直线AP过圆心C(2,0)时,

AP

2最大(或最小).

再根据|AC|=,可得-2≤||≤+2,

AP

2的取值范围为[9-4,9+4].(6分)

(2)把直线l的参数方程化成普通方程为x-y-m=0,又直线l与曲线C有两个交点M、N,且=0,

则:圆心C(2,0)到直线l的距离为

即:=

∴m=0或4.(12分)

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题型:简答题
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简答题

(1)选修4-2:矩阵与变换

已知向量在矩阵M=变换下得到的向量是

(Ⅰ)求m的值;

(Ⅱ)求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程.

(2)选修4-4:极坐标与参数方程

在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点M的极坐标为(4),曲线C的参数方程为(α为参数).

(Ⅰ)求直线OM的直角坐标方程;

(Ⅱ)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.

(3)选修4-5:不等式选讲

设实数a,b满足2a+b=9.

(Ⅰ)若|9-b|+|a|<3,求a的取值范围;

(Ⅱ)若a,b>0,且z=a2b,求z的最大值.

正确答案

(1)(Ⅰ)因为 =

所以,=,即m=1.…(3分)

(Ⅱ)因为M=,所以M-1=.…(4分)

设曲线y2-x+y=0上任意一点(x,y)在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是(x',y').

==,…(5分)

所以代入曲线y2-x+y=0得y'2=x'.…(6分)

由(x,y)的任意性可知,曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x.…(7分)

(2)(Ⅰ)由点M的极坐标为(4)得点M的直角坐标为(4,4),

所以直线OM的直角坐标方程为y=x.…(3分)

(Ⅱ)由曲线C的参数方程(α为参数)

化为普通方程为(x-1)2+y2=2,…(5分)

圆心为A(1,0),半径为r=

由于点M在曲线C外,故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-.…(7分)

(3)(Ⅰ)由2a+b=9得9-b=2a,即|6-b|=2|a|.

所以|9-b|+|a|<3可化为3|a|<3,即|a|<1,解得-1<a<1.

所以a的取值范围-1<a<1.…(4分)

(Ⅱ)因为a,b>0,所以z=a2b=a•a•b≤()3=()3=33=27,…(6分)

当且仅当a=b=3时,等号成立.

故z的最大值为27.…(7分)

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题型:简答题
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简答题

(1)选修4-2:矩阵与变换

若矩阵A有特征值λ1=2,λ2=-1,它们所对应的特征向量分别为e1=和e2=

(I)求矩阵A;

(II)求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程.

(2)选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),C2的参数方程为(t为参数)

(I)若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),分别得到曲线C′1和C′2,求出曲线C′1和C′2的普通方程;

(II)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程.

(3)选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R,

(I)求关于x的不等式f(x)≤5的解集;

(II)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.

正确答案

(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换

(I)设A=(),由A1,A2得:

=2==-1×=

,故A=…4分

(II)设曲线x2+y2=1上任意一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得到的点为(x′,y′),则=,即

,从而(

1

2

x′)2+(-y′)2=1,即+y′2=1,

∴新曲线方程为+y2=1…7分

(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程

∵(Ⅰ)C1(θ为参数),C2(t为参数,

∴C1的普通方程为x2+y2=1,C2的普通方程为y=x-1…4分

(Ⅱ)在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x,

在极坐标系中,直线化为tanθ=1,方程为θ=或θ=…7分

(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲

(Ⅰ)

∴不等式的解集为x∈[-]…4分

(Ⅱ)若g(x)=的定义域为R,则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,

又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,

∴f(x)的最小值为2,

∴m<-2…7分.

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题型:简答题
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简答题

选修4-4:

坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中,曲线C1为x=acosφ,y=sinφ(1<a<6,φ为参数).

在以0为原点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C2的方程为ρ=6cosθ,射线ι为θ=α,ι与C1的交点为A,ι与C2除极点外的一个交点为B.当α=0时,|AB|=4.

(1)求C1,C2的直角坐标方程;

(2)若过点P(1,0)且斜率为的直线m与曲线C1交于D、E两点,求|PD|与|PE|差的绝对值.

正确答案

(1)由曲线C2的方程:ρ=6cosθ得 ρ2=6ρcosθ,所以C2的直角坐标方程是 x2+y2-6x=0.--(2分)

由已知得C1的直角坐标方程是+y2=1,

当a=0时射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标为A(a,0)、B (6,0),-----(3分)

∵|AB|=4,∴a=2,∴C1的直角坐标方程是 +y2=1.①----(5分)

(2)m的参数方程为  (t为参数),②-------(7分)

将②带入①得13t2+4t-12=0,设D、E 点的参数分别是t1、t2

则有 t1+t2=-,t1•t2=-.-------(8分)

∴|PD|-|PE|=|t1+t2|=.------(10分)

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题型:简答题
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简答题

选修4-2:矩阵与变换

在平面直角坐标系xoy中,求圆C的参数方程为(θ为参数,r>0),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=2,若直线l与圆C相切,求r的值.

正确答案

由ρcos(θ+)=2,得ρ(cosθ-sinθ)=2

即ρcosθ-ρsinθ-4=0,即x-y-4=0,

所以直线的普通方程为x-y-4=0,

,得,①2+②2得,(x+1)2+y2=r2

所以圆的普通方程为(x+1)2+y2=r2

由题设知:圆心C(-1,0)到直线l的距离为r,即r==

即r的值为

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题型:填空题
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填空题

(坐标系与参数方程选做题)

若以直角坐标系的x轴的非负半轴为极轴,曲线l1的极坐标系方程为ρsin(θ-)=(ρ>0,0≤θ≤2π),直线l2的参数方程为(t为参数),则l1与l2的交点A的直角坐标是______.

正确答案

把曲线l1的极坐标系方程为ρsin(θ-)=(ρ>0,0≤θ≤2π),化简可得 ρsinθcos-ρcosθsin=,即 y=x+1.

由于直线l2的参数方程为(t为参数),消去参数化为普通方程为 x+y=3,

再由 ,可得  ,故l1与l2的交点A的直角坐标是(1,2),

故答案为 (1,2).

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题型:简答题
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简答题

已知圆C的参数方程为(θ为参数),

(1)以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出圆C的极坐标方程;

(2)已知直线l经过原点O,倾斜角α=,设l与圆C相交于A、B两点,求O到A、B两点的距离之积.

正确答案

(1)由

两式平方后相加得(x-2+y2=4,…(4分)

∴曲线C是以(,0)为圆心,半径等于2的圆.令x=ρcosθ,y=ρsinθ,

代入并整理得ρ2-2ρCOSθ-1=0.

即曲线C的极坐标方程是ρ2-2ρCOSθ-1=0 …(10分)

(2)直线的参数方程是 (t是参数).

因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2

圆化为直角坐标系的方程(x-2+y2=4,

以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到 t2+3t-1=0  ①,

因为1和t2是方程①的解,从而 t1t1=-2.

所以|OA||OB|=t1t2|=|-1|=1.

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