热门试卷

（I）将M(1，)及对应的参数ϕ=，代入，得，即，

所以曲线C1的方程为+y2=1．

设圆C2的半径为R，由题意圆C2的方程为（x-R）2+y2=R2 ．

由D的极坐标 (1，)，得D(，)，代入（x-R）2+y2=R2，解得R=1，

所以曲线C2的方程为（x-1）2+y2 =1．

（II）因为点A（ρ1，θ），B(ρ2，θ+)在曲线C1上，又点A的直角坐标为（ρ1cosθ，ρ1sinθ），

点B的横坐标为ρ2 cos（θ+）=-ρ2sinθ，点B的纵坐标为ρ2sin（θ+）=ρ2cosθ，

所以+sin2θ=1，+cos2θ=1，

所以+=(+sin2θ)+(+cos2θ)=．（10分）

（1）由曲线C1的参数方程为（其中α为参数），消去参数化为普通方程为 x2+（y-2）2=4．

设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标为（，）．

再由M是曲线C1上的动点可得 (

x

2

)2+(

y

2

-2)2=4，即 x2+（y-4）2=16．故曲线C2的普通方程为  x2+（y-4）2=16．

（2）直线l 的方程为ρsin（θ+）=，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y-2=0．

由于圆心（0，4）到直线的距离等于d==，圆的半径等于4，

∴线段AB=2 =2．

把曲线C的方程（p＞0，t为参数），化为普通方程为 y2=2px．

当t∈[-1，2]时，曲线C的端点为A，B，可得A（2p，-2p）、B（8p，4p），

∴|AB|==6p，

AB的方程为 =，即 x-y-4p=0．

再根据曲线C的焦点F（，0）到AB的距离为d==．

再根据 S△AFB=14=|AB|•d=×6p×=14，解得 p=．

（Ⅰ）P的直角坐标为（1，1）

∵直线l过点P，且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）

∵伸缩变换，∴

代入+=1，可得+=1，即x′2+y′2=4

∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4；

（Ⅱ）直线l的参数方程为，代入曲线C可得t2+（-1）t-2=0

设方程的根为t1，t2，则t1+t2=-1；t1t2=-2

∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=2

（1）对于曲线C1：（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，可得 （x+4）2+（y-3）2=1；

对于曲线 C2：（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得 +=1．

（2）若C1上的点P对应的参数为t=，则点P的坐标为（-4，4），

设Q（8cosθ，3sinθ）为C2上的动点，则PQ中点M（ 4cosθ-2，）．

直线C3：（t为参数），即 x-2y-7=0．

∴点M到直线C3：x-2y-7=0 的距离为 d===，其中，sin∅=，cos∅=-．

故当sin（θ+∅）=1时，d取得最小值为 =．

（Ⅰ）由于曲线C1的参数方程为：（φ为参数），

利用同角三角函数的基本关系可得+=1．

由于射线C2的极坐标方程为：θ=，故射线C2的方程为 y=x （x≥0）．

把射线的方程代入+=1可得 x2=．

再由射线C2与曲线C1的交点的横坐标为，可得 =，解得 a2=2，

故曲线C1的普通方程为 +y2=1．

（Ⅱ）由|OP|•|OQ|为定值．由（Ⅰ）可知曲线C1为椭圆，不妨设A为椭圆C1的上顶点，

设M（cosθ，sinθ），P（xP，0），Q（xQ，0），因为直线MA与MB分别与x轴交于P、Q两点，

所以KAM=KAP，KBM=KBQ，由斜率公式并计算得 xP=，xQ=，

所以|OP|•|OQ|=|xP•xQ|=2，可得|OP||OQ|为定值．