柱坐标系与球坐标系简介_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（《坐标系与参数方程》选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是______．

正确答案

因为直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，它的直角坐标方程为：直线x-y+2=0，

曲线（α为参数）的直角坐标方程为：抛物线段y=x2（0≤y≤2），

联立两个直角坐标方程组成方程组

②代入①得，x2-x-2=0，解得x=-1，或x=2，

x=-1时，y=1；x=2，时y=4（舍去）；

它们交点的直角坐标为（-1，1）．

故答案为：（-1，1）．

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题型：填空题

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填空题

直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos(θ+)（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为______．

正确答案

直线l：，由②得，t=--，代入①得直线l的方程为x+2y+（2-a）=0，

由ρ=2cos(θ+)，得ρ=2(coscosθ-sinsinθ)=2(cosθ-sinθ)=2cosθ-2sinθ．

ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，所以圆的方程为x2+y2=2x-2y，即（x-1）2+（y+1）2=2，

所以圆心为（1，-1），半径r=．若直线l被圆C截得的弦长为，

则圆心到直线的距离d===，

又d===，即|1-a|=1，

解得a=0或a=2．

故答案为0或2．

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题型：填空题

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填空题

曲线C：（α为参数），若以点O（0，0）为极点，x轴正半

轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ______．

正确答案

∵曲线C：（α为参数），

∵以点O（0，0）为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

又x=pcosθ，y=psinθ，

代入曲线C得，

pcosθ-2=2cosα，

psinθ=2sinα，消去α得，

p=4cosθ，

故答案为：p=4cosθ．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

正确答案

（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．

当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），

因为这两点间的距离为2，所以a=3

当α=时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），

因为这两点重合

所以b=1．

（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和+y2=1．

当α=时，射线l与C1交点A1的横坐标为x=，

与C2交点B1的横坐标为x′=．

当α=-时，射线l与C1，C2的两个交点A2，

B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．

故四边形A1A2B2B1的面积为=．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ（ρ＞0）．

（Ⅰ）化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程．

正确答案

（Ⅰ）曲线C1：+=1；曲线C2：（x-1）2+（y+2）2=5；（3分）

曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；

曲线C2为圆心为（1，-2），半径为的圆（2分）

（Ⅱ）曲线C1：+=1与x轴的交点坐标为（-4，0）和（4，0），因为m＞0，

所以点P的坐标为（4，0），（2分）

显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k（x-4），

由曲线C2为圆心为（1，-2），半径为的圆得=，

解得k=，所以切线l的方程为y=(x-4)（3分）

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x，y）满足方程组：

（1）若k为参数，θ（2）为常数（θ≠，k∈Z（3）），求P点轨迹的焦点坐标．

（4）若θ（5）为参数，k为非零常数，则P点轨迹上任意两点间的距离是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）由得：，把这两个式子平方相减可得

- = 4．∵θ≠，k∈z，故方程表示焦点在x轴上的双曲线，焦点为（-2，0），（2，0）．

（2）由可得，消去参数θ 可得

-= 1，故方程表示焦点在x轴上的椭圆，

任意两点间的距离存在最大值为椭圆的长轴的长2a=2（2k+2-k ）．

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题型：简答题

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简答题

直线l的参数方程为(t为参数），圆C：(α为参数）．

（Ⅰ）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l交圆C于A，B两点，求AB弦长．

正确答案

（Ⅰ）把圆C：(α为参数）利用同角三角函数的基本关系消去参数，

可得圆C的普通方程为x2+y2=4，它的极坐标方程为ρ=2．

（Ⅱ）把直线l的参数方程为(t为参数），消去参数，化为普通方程为y=-x+2，

圆心到直线l的距离为d==，

由垂径定理得==，故|AB|=2．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）

在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ∈[0，2π]，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是______．

正确答案

由得，两式平方后相加得（x-2）2+y2=4，…（4分）

∴曲线C是以（2，0）为圆心，半径等于的圆．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，

代入并整理得ρ=4cosθ．即曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ． …（10分）

故答案为：ρ=4cosθ．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系x0y的O点为极点，0x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-)．若直线l与曲线C交于A，B两点，则AB=______．

正确答案

直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为 y=x+．

曲线C的极坐标方程 ρ=2cos(θ-) 即 ρ2=2ρ[cosθ+sinθ]=ρcosθ+ρsinθ，即 x2+y2=x+y．

把直线的方程代入化简可得 4x2-x-=0，∴x1+x2=，x1•x2=-．

∴AB=|x1-x2|=2 =2×=，

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

把参数方程（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

正确答案

法一：由x=，得x=-1+，即=x+1 ①，又=y ②，

②÷①得：t= ③，（3分）

将③代入①得 x+1=，

整理得：x2+=1． …（6分）

因为t2+1≥1，所以x=-1+∈（-1，1]，

所求普通方程为x2+=1 （x≠-1）．…（8分）

法二：由x=，①，

y=②，

①2+（）2得x2+=1． …（6分）

因为t2+1≥1，所以x=-1+∈（-1，1]，

所求普通方程为x2+=1 （x≠-1）．…（8分）

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