- 常数数列
- 共10题
如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（ ）
①f（
正确答案
(1)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。如果等和数列{an}的首项a1=a，公和为m，试归纳a2，a3，a4的值，猜想{an}的通项公式；
(2)类比“等和数列”猜想“等积数列”{bn}的首项b1=b，公积为p的通项公式；
(3)利用(1)和(2)探究是否存在一个数列既是“等和数列”；又是“等积数列”，并举例说明.
正确答案
解：（1）
通项公式为
（2）等积数列的通项公式为
（3）由(1)和(2)一个数列既是“等和数列”；又是“等积数列”；必须奇数项相同即a=b，
同时偶数项也相同即
例如，不妨取a=b=1，则p=m-1，
即常数列
已知下列数列：
(1)2 000，2 004，2 008，2 012；
(2)0，
(3)1，
(4)1，
(5)1，0， -1，…，sin
(6)3，3，3，3，3，3
其中，有穷数列是（ ），无穷数列是（ ），递增数列是（ ），递减数列是（ ），常数列是（ ），摆动数列是（ ），周期数列是（ ）。（将合理的序号填在横线上）
正确答案
(1)(6)；(2)(3)(4)(5)；(1)(2)；(3)；(6)；(4)(5)；(5)
数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。
（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；
（Ⅱ）若a1=
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减。
正确答案
（Ⅰ）解：因为数列
所以
由n的任意性知，
（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，
②假设当n=k（k≥1）时，
因为
从而
因为
所以，当n=k+1时，
由①，②知，
（Ⅲ）证明：因为
所以只要证明
由（Ⅱ）知，
所以只要证明
即证明
令
所以函数f(x)在R上单调递增；
因为
所以，
故
设Sn为数列{an}的前n项和（n=1，2，3，……）。按如下方式定义数列 {an}：a1=m（m∈N*），对任意k∈N*，k＞1，设ak为满足0≤ak≤k-1的整数，且k整除Sk，
（Ⅰ）当m=9时，试给出{an}的前6项；
（Ⅱ）证明：k∈N*，有
（Ⅲ）证明：对任意的m，数列{an} 必从某项起成为常数列。
正确答案
解：（Ⅰ）m=9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，
即前六项为9，1，2，0，3，3。
（Ⅱ）
（Ⅲ）
由（Ⅱ）可得
∴数列
不妨设从l项起
于是
所以
所以{an}当n≥l+1时成为常数列。
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