- 平面向量的综合应用
- 共1136题
已知=(cosx,
sinx),
=(cosx,cosx),设f(x)=
•
.
(1)求函数f(x)的图象的对称轴及其单调递增区间;
(2)当x∈[0,],求函数f(x)的值域及取得最大值时x的值;
(3)若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边,且b•c=-
,f(A)=
,试求△ABC的面积S.
正确答案
(1)因为f(x)=•
=cosxcosx+
cosxsinx=cos2x+
sinxcosx
==sin(2x+
)+
所以对称轴方程:x=+
(k∈Z)
单调递增区间为(-+kπ,
+kπ)(k∈Z)
(2)当x∈[0,]时,2x+
∈[
,
],sin(2x+
)∈[-
,1],
sin(2x+)+
∈[0,
]
所以,当2x+=
,即x=
,sin(2x+
)+
有最大值为
f(x)的值域为[0,],x=
是取得最大值
(3)因为f(A)=,所以sin(2A+
)+
=
,所以A=
sin=sin(
+
)=sin
cos
+cos
sin
=
s△ABC=b•csin
=
(
-
)
=
所以△ABC的面积为.
已知向量=(cos
x,sin
x),
=(cos
-sin
),x∈[0,
]
(1)用x的式子表示; .
及|
+
|;
(2)求函数f(x)=.
-4|
+
|的值域;
(3)设g(x)=.
+t|
+
|,若关于x的方程g(x)+2=0有两不同解,求t的取值范围?.
正确答案
(1)•
=cos
cos
-sin
sin
=cos2x
∵|
a
+
b
|2=1+2cos2x+1=2(1+cos2x)=4cos2x
∴|+
|=2cosx x∈[0,
]
(2)∵f(x)=•
-4|
+
|=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2(cosx-2)2-9
∵x∈[0,]∴cosx∈[0,1]∴f(x)∈[-7,-1]
(3)∵g(x)+2=0
∴cos2x+2tcosx+2=0
即2cos2x+2tcosx+1=0
令cosx=μ∈[0,1),F(μ)=2μ2+2tμ+1
∴
∴t∈[-,-
)
(理)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且=(
(sinC+sinA),c-b),
=(sinB,2sinC-2sinA),
∥
,△ABC的外接圆半径为
,
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求:y=sinB+sinC的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)∵=(
(sinC+sinA),c-b),
=(sinB,2sinC-2sinA),
∥
∴2(sin2C-sin2A)=(c-b)sinB…(2分)
由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,且R=,
代入2(sin2C-sin2A)=(c-b)sinB,
可得c2-a2=bc-b2,…(4分)
∴cosA==
,
又∵A∈(0,π),∴A=…(6分)
(Ⅱ)sinB+sinC=sinB+sin(-B)
=sinB+cosB+
sinB
=(
sinB+
cosB)
=sin(B+
)…(9分)
∵B∈(0,),∴B+
∈(
,
),
∴sin(B+)∈(
,1]
∴sinB+sinC∈(,
]…(12分)
设向量=(cosθ,sinθ),
=(2
+sinθ,2
-cosθ),θ∈(-
π,-π),若
•
=1,
求:(1)sin(θ+)的值;
(2)cos(θ+π)的值.
正确答案
(1)依题意,•
=cosθ(2
+sinθ)+sinθ(2
-cosθ)=2
(sinθ+cosθ)=4sin(θ+
),又
•
=1,sin(θ+
)=
(2)由于θ∈(-π,-π),则θ+
∈(-
π,-
π)
结合sin(θ+)=
,可得cos(θ+
)=-
则cos(θ+π)=cos[(θ+
π)+
π]=(-
)×
-
×
=-
已知△ABC的顶点A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),其中0<α<π.
(Ⅰ)若||=|
|,求角α的值;
(Ⅱ)若△ABC的面积为S△ABC=,求sinα-cosα的值
正确答案
(1)||=|
|,得:
=
,
即:sinα=cosα,
又∵0<α<π,
∴α=.
(2)直线AB方程为:x+y-3=0.|AB|=3,点C到直线AB的距离为:
d==
.
∵S△ABC=|AB|d=
×3
×
=
∴sinα+cosα=,
∴2sinαcosα=-,
又∵0<α<π,
∴sinα>0,cosα<0;
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=
∴sinα-cosα=
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