热门试卷

证明：∵=， =，

∴=-=(-)=．

解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB= ，

∴BD=2，∠ABD=30°，

∵BC∥AD

∴∠DBC=60°，BC=4，

由余弦定理得DC=2 ，

BC2=DB2+DC2，∴BD⊥DC，

∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，

∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC

（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，

由（1）知BD⊥面PDC，∴ 就是面PDC的法向量，

A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），

设AB与面PDC所成角大小为θ，sinθ==，

∵θ∈（0，）∴θ=

（3）在（2）中的空间坐标系中A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a），

C（﹣3，，0），=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），

=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）

=（0，，0），=（1，0，﹣a），

设=（x，y，z）为面PAB的法向量，

由=0，得y=0，

由=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），

由DE∥面PAB得：⊥，

∴=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=

证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

∴=，

=，

∴=．

（I）设D（x，y），则由，

且=（x-4，y-1）（1分）

∵=（-8，8），•=0

∴-8（x-4）+8（y-1）=0，即x-y-3=0      ①（2分）

∵=（x，y-2），∥

∴-8（y-2）=8x，即x+y-2=0       ②（2分）

由①②得：

可得D(，-)，所以=(-，-)；

（II）设E（m，n），则S△ABE=S△ABC得AE=AC，

从而=，

∴（m-4，n-1）=（-12，9）

∴

所以E（0，4）．