平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

已知关于x的方程x2-（t-2）x+t2+3t+5=0有两个实根，=+t，且=（-1，1，3），=（1，0，-2）．

（1）若||=f（t），求f（t）；

（2）问||是否能取得最大值？若能，求出实数t的值，并求出相应的向量与的夹角的余弦值；若不能，试说明理由．

正确答案

解（1）∵=（-1，1，c），=（1，0，-2），

∴=+t=（-1，1，c）+（t，0，-2t）

=（-1+t，1，c-2t），

∴得（t）=||=

=．

（2）∵=（-1，1，c），=（1，0，-2）．

∴||&n着sp;=，||&n着sp;=，•=-7，

∴|

着

|2=|

着

&n着sp;|&n着sp;2t2+2(•)t+||&n着sp;&n着sp;2

=5t2-14t+5

=5（t-）2-

∴当t=时，|+t|最小，

∵关于x的方程x2-（t-2）x+t2+ct+5=0有两个实根，

∴△=[-（t-2）]2-4（t2+ct+5）≥0，

解得≤t≤4．

∵∈[，4]，

∴||能取得最大值．

当||取得最大时，=+t=（-1，1，c）+（，0，-）=（，1，），

cos＜，＞==0．

题型：简答题

简答题

（1）已知向量=+t，=+s（s、t是任意实数），其中=（1，2），=（3，0），=（1，-1），=（3，2），求向量，交点的坐标；

（2）已知=（x+1，0），=（0，x-y），=（2，1），求满足等式x+=的实数x、y的值．

正确答案

（1）设交点坐标为（m，n），则=（m，n），=（m，n），

所以=+t=+s=．

所以（1，2）+t（3，0）=（1，-1）+s（3，2）．

即（3t+1，2）=（3s+1，2s-1）．

∴

∴（m，n）=（3t+1，2）=（，2）

即向量，交点的坐标为（，2）；

（2）因为x+=，所以（x2+x，x-y）=（2，1），

所以

所以或．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，求证：++=．

正确答案

如图所示，

∵+=，+=，

∴++=+=，

∵在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，所有侧棱平行且相等

∴向量=，

由此可得++=，原等式成立

题型：简答题

简答题

已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设M是直线OP上一点，O是坐标原点．

（1）求使•取最小值时的；

（2）对（1）中的点M，求∠AMB的余弦值．

正确答案

（1）设M（x，y），则=(x，y)，

由题意可知∥，又=(2，1)．

所以x-2y=0即x=2y，所以M（2y，y），

则•=(1-2y，7-y)•(5-2y，1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8，

当y=2时，•取得最小值，

此时M（4，2），即=(4，2)．

（2）∵cos∠AMB===-．

∴∠AMB的余弦值为-

题型：简答题

简答题

已知向量=(cosθ，sinθ)，(cos2θ-1，sin2θ)，=(cos2θ，sin2θ-)．其中θ≠kπ，k∈Z．

（1）求证：⊥；

（2）设f(θ)=•，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

正确答案

（1）根据数量积的坐标运算公式，得

•=(cosθ，sinθ)•(-2sin2θ，2sinθcosθ)

=-2sin2θcosθ+2sin2θcosθ=0

所以 ⊥

（2）根据数量积的坐标运算公式，得

f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-sinθ

=cosθ-sinθ=2cos(θ+)

∴θ∈（0，π），

∴＜θ+＜，

∴f（θ）的值域为：[-2，1）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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