平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足m•n=．

（1）求sinAsinC的值；

（2）求证：三角形ABC为等边三角形．

正确答案

（1）由m•n=得，

cos(A-C)+cosB=，

又B=π-（A+C），得cos（A-C）-cos（A+C）=，

即cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=，

所以sinAsinC=．

（2）证明：由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，

故sin2B=．

于是cos2B=1-=，

所以cosB=或-．

因为cosB=-cos（A-C）＞0，

所以cosB=，故B=．

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，

即b2=a2+c2-ac，

又b2=ac，

所以ac=a2+c2-ac，

得a=c．

因为B=，

所以三角形ABC为等边三角形．

题型：填空题

填空题

在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则++=设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如a+b+c=，则内角A的大小为______；若a=3，则△ABC的面积为______．

正确答案

由 a+b+c=a+b+c（-- ）=（a-c）+（b-c）=，

∵与不共线，∴a-c=b-c=0，

∴a=b=c，△ABC中，由余弦定理可求得cosA=，∴A=．

若a=3，则 b=3，c=3，△ABC面积S=bcsinA=×3×3×=，

故答案为；．

题型：简答题

简答题

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b-c，ccosC），=（a，cosA），且∥．

（1）求角A的大小；

（2）求函数y=2sin2B+cos（-2B）的值域．

正确答案

（1）由∥，得（2b-c）cosA-acosC=0，…（2分）

∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）

=sin（π-B）=sinB．…（4分）

在锐角三角形ABC中，sinB＞0，

∴cosA=，故有 A=．…（6分）

（2）在锐角三角形ABC中，∠A=，故＜B＜．…（7分）

∴y=2sin2B+cos(-2B)=1-cos2B+cos2B+sin2B

=1+sin2B-cos2B=1+sin(2B-)．…（9分）

∵＜B＜，∴＜2B-＜，

∴＜sin(2B-)≤1，＜y≤2，

∴函数y=2sin2B+cos（-2B）的值域为(，2]．…（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量=（1，λsinA），=（sinA，1+cosA）．已知 ∥．

（1）若λ=2，求角A的大小；

（2）若b+c=a，求λ的取值范围．

正确答案

（1）由 ∥，得2sin2A-1-cosA=0，

即2cos2A+cosA-1=0，

即cosA=，或cosA=-1（舍去）

所以A=．

（2）由 ∥，得λsin2A-1-cosA=0，

即λcos2A+cosA+1-λ=0，λ（cosA-1）+1=0，cosA=，

又cosA=

=-1

≥-1=．

综上λ满足≤＜1，解之得 0＜λ≤．

题型：简答题

简答题

已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量．

=(cos，sin) ，=(cos，-sin)，且与的夹角为

（1）求A；

（2）已知a=，求bc的最大值．

正确答案

（1）∵m=(cos，sin)，n=(cos，-sin)，∴m•n=cos2-sin2=cosA．

又m•n=|m|•|n|cos=，∴cosA=，∴A=．

（2）∵a2=b2+c2-2bccosA，a=，A=，

∴=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，∴bc≤，当且仅当b=c时取等号，∴bc的最大值为．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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