平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

已知向量，，，及实数x，y且||=||=1，=+（x2-3）x，=-y+，⊥，⊥．

（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；

（2）求函数y=f（x）的单调区．

正确答案

（1）∵=+（x2-3）x，=-y+，⊥，

∴-y||2-y(x2-3)x•+•+(x2-3)x||2=0

∵||=||=1，⊥，

∴y=x3-3x，即f（x）=x3-3x；

（2）求导数可得y′=3x2-3=3（x+1）（x-1）

令y′＞0，可得x＜-1或x＞1；令y′＜0，可得-1＜x＜1，

∴函数的得到递增区间是（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间是（-1，1）．

题型：简答题

简答题

向量=(a+1，sinx)，=(1，4cos(x+))，设函数g（x）=•（a∈R，且a为常数）．

（1）若x为任意实数，求g（x）的最小正周期；

（2）若g（x）在[0，)上的最大值与最小值之和为7，求a的值．

正确答案

∵g(x)=•=a+1+4sinxcos(x+)（2分）

=sin2x-2sin2x+a+1

=sin2x+cos2x+a=2sin(2x+)+a（6分）

（1）由周期公式可得，T==π（8分）

（2）∵0≤x＜，

∴≤2x+＜

当2x+=，即x=时，ymax=2+a（10分）

当2x+=，即x=0时，ymin=1+a

∴a+1+2+a=7，即a=2．（12分）

题型：简答题

简答题

已知||=1，||=2，与的夹角为60°．

（1）求+与的夹角的余弦值；

（2）当|+t|取得最小值时，试判断+t与的位置关系，并说明理由．

正确答案

（1）设+与的夹角为θ，于是•=||•||cos60°=1，|+|===，于是cosθ===．

（2）令|+t|==，

当且仅当t=-时，取得最小值，此时(+t)•=•+4t=0，

所以(+t)⊥．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1．设=(1-λ)+λ(λ＞0)．

（1）求•；

（2）证明：A、P、C三点共线；

（3）当△ABP的面积为时，求λ的值．

正确答案

（1）∵△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1，

∴由余弦定理知：cosA==

∴•=||||cosA=+1；

（2）证明：∵=(1-λ)+λ(λ＞0)

∴-=λ(-)，

∴=λ（λ＞0），

∵、有公共点A

∴A、P、C三点共线．

（3）∵S△ABP=AB•AP•sinA=（+1）•AP•=，

∴AP=，

∵AC=，∴λ=．

题型：填空题

填空题

在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，·＋·＝·，则四边形ABCD的面积为________．

正确答案

由＝＝(1,1)可得||＝||＝且四边形ABCD是平行四边形，再由·＋·＝·可知D在∠ABC的角平分线上，且以及上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长(如图)，则||＝，因此∠ABC＝，∴AB＝BC，S▱ABCD＝AB·BC·sin＝．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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