· 平面向量的数量积

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
共1136题

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1

题型：简答题

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简答题

（文科做）已知圆O：x2+y2=4，，点M（1，a）且a＞0．

（I ）若过点M有且只有一条直线/与圆O相切，求a的值及直线l的斜率，

（II ）若a=，AC、BD是过点M的两条弦．

①当弦AC最短、弦BD最长时，求四边形ABCD的面积；

②若=+，求动点P的轨迹方程．

正确答案

（I）由题意，过M有且仅有一条直线l与圆O相切可知，点M（1，a）在圆上

∴1+a2=4

∵a＞0∴a=

则此时所做的切线方程为y-=k（x-1）即kx-y+-k=0

由直线与圆相切可知，圆心（0，0）到直线的距离d==1

∴k=

（II）当a=时，M（1，）在圆x2+y2=4内

①由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦

此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=，

从而可得，AC=2

S=AC•BD=×2×4=4

②∵||=||=2，=+

∴以，为邻边做平行四边形OAPC，则可得OAPC为菱形，

由菱形的性质可知AC，OP互相垂直平分，且M在AC上

由垂直平分线的性质可知，MP=MO=

P是以M（1，）为圆心，以为半径的圆，其方程为(x-1)2+(y-

2

)2=3

1

题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)），P（cosα，sinα），其中0＜α＜．

（1）若 cosα=，求证：⊥；

（2）若||=||，求sin(2α+)的值．

正确答案

（1）由题设知=(-cosa，-sina)，=（-cosa，-sina）．

所以•=(-cosa)(-cosa)+(-sina)2=-cosa+cos2a+sin2a=-cosa+1．

因为cosa=，所以•=0．故⊥．

（2）因为||=|||，所以||2=||2，

即(cosa-)2+sin2a=cos2a+sin2a．

解得cosa=．

因为0＜a＜，所以sina=．

因此sin2a=2sinacosa=，cos2a=2cos2a-1=-．

从而sin(2a+)=sin2a+cos2a=×+×(-)=．

1

题型：填空题

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填空题

在△ABC中，已知BC=2，•=1，则△ABC面积的最大值是______．

正确答案

∵•=1，∴||•|cosA=1

∴1=AB2AC2cos2A（1）

又∵S=|AB||AC|sinA

∴4S2=AB2AC2sin2A（2）

（1）+（2）得：1+4S2=AB2AC2（cos2A+sin2A）

即1+4S2=AB2AC2

由题知：=-，

∴BC2=AC2-2•+AB2=AC2+AB2-2

∵BC=2，

∴AC2+AB2=6

由不等式：AC2+AB2≥2AC•AB 当且仅当，AC=AB时，取等号

∴6≥2AC•AB

即AC•AB≤3

∴1+4S2=AB2AC2《9

∴4S2≤8，即：S2≤2

∴S≤，所以△ABC面积的最大值是：．

故答案为．

1

题型：填空题

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填空题

在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，E是DC的中点，F是AE的中点，则•=______．

正确答案

∵=+=+，

=-=-=-

∴•=(+)• (-)

= 2- 2-•

=-

故答案为-．

1

题型：填空题

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填空题

已知△AOB，点P在线段AB上，已知=m+4n，则mn的最大值为______．

正确答案

由点P在线段AB上可得A，P，B三点共线

由向量共线定理可得，存在实数λ使得=λ（0≤λ≤1）

=+=+ λ=+λ(-)

=(1-λ)+λ

∵=m+4n且，不共线

∴m=1-λ，4n=λ

∴mn=(1-λ)λ≤•(

1-λ+λ

2

)2=

故答案为：

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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