平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

已知向量=(cosx，sinx)，=(sin2x，1-cos2x)，=(0，1)，x∈(0，π)．

（Ⅰ）向量，是否共线？请说明理由．

（Ⅱ）求函数f(x)=||-(+)•的最大值．

正确答案

（Ⅰ）与共线．…（1分）

∵cosx•（1-cos2x）-sinx•sin2x=cosx•2sin2x-sinx•2sinx•cosx=0，

∴与共线．…（5分）

（Ⅱ）||====2|sinx|，…（7分）

∵x∈（0，π），∴sinx＞0，，∴||=2sinx．…（8分）

∵+=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）

∴(+)•=（cosx+sin2x，sinx+1-cos2x）•（0，1）=sinx+1-cos2x=sinx+2sin2x…（10分）

∴f（x）=2sinx-sinx-2sin2x=-2sin2x+sinx=-2( sinx-

)2+

∵x∈（0，π）

∴sinx=时函数f（x）的最大值

题型：填空题

填空题

把同一平面内所有不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于______．

正确答案

根据题意，这些向量的终点构成的图形是一个圆环，

其面积为π•22-π•12=3π，

故答案为3π．

题型：简答题

简答题

设向量=(mx+m-1，-1)，=(x+1，y)，m∈R，且⊥

（1）把y表示成x的函数y=f（x）；

（2）若tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根，A，B是△ABC的两个内角，求tanC的取值范围．

正确答案

（1）∵向量=(mx+m-1，-1)，=(x+1，y)，m∈R，且⊥

∴[m（x+1）-1]（x+1）-y=0 2’

y=f（x）=mx2+（2m-1）x+m-1 4’

（2）由题意A，B是△ABC的两个内角

∴tanC=-tan（A+B）

∵tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根

∴△≥0⇒m≤ 8’

tanA+tanB=，tanAtanB=

∴tan(A+B)==2m-1

∴tanC=1-2m 9’

A，B是三角形的内角，至多一个为钝角，tanA，tanB中至多有一个取负值，且都不为零

若都为正，由韦达定理tanA+tanB=＞0，得0＜m＜，又m≤，可得0＜m≤，故有tanC=1-2m∈[，1) 10’

若一正一负，由韦达定理tanAtanB=＜0，可得-1＜m＜0，故有tanC∈（1，3）11’

综上 tanC∈[，1)∪(1，3) 12’

题型：填空题

填空题

在△ABC所在的平面上有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是______．

正确答案

由++=，得++-=0，即+++=0，得++=0，即2=，所以点P是CA边上的第二个三等分点，故=．

故答案为：2：3

题型：简答题

简答题

已知向量=(λcosα，λsinα)（λ≠0），=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．

（Ⅰ）若α-β=且λ=1，求向量与的夹角；

（Ⅱ）若不等式||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）当λ=1时，

=（cosα，sinα），=（-sinβ，cosβ）

∴||=1，||=1

设向量与的夹角为θ，得•=||||cosθ=cosθ

又∵•=cosα（-sinβ）+（sinα）cosβ=sin（α-β）=sin=

∴cosθ=

∵θ∈[0，π]

∴θ=

（Ⅱ）||2=|-|2=||2-2•+||2=λ2-2λsin（α-β）+1

不等式||≥2||可化为：λ2-2λsin（α-β）+1≥4，

即λ2-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立

∵-1≤sin（α-β）≤1

∴

解得：λ≤-3或λ≥3

∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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