热门试卷

（1）由题，||=||=1且|k+|=|-k|，

所以(k+)2=3(-k)2，

化简可得4k•=k2+1，

∴f(k)=•=(k＞0)；

（2）若⊥，则•==0，而=0无解，因此和不可能垂直；

若∥，则|•|=||||即=1，解得k=2±，

综上，和不可能垂直；

当和平行时，k=2±；

（3）设与夹角为θ，

则cosθ===+=()2+()2

=(-)2+≥

因此，当且仅当=即k=1时，cosθ有最小值为，此时，向量与的夹角有最大值为60°．

（本题满分14分）

（1）因为 f(x)=•=2cosx2+2sinx．cosx+1

=cos2x+sin2x+2------（2分）

=2sin(2x+)+2--------（3分）

∴2kπ-≤2x+≤2kπ+，(k∈Z)--------（5分）

解得：kπ-≤x≤kπ+

所以f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+](k∈Z)-------（7分）

（2）f（A）=3，∴sin(2A+)=10＜A＜π，

∴2A+=，∴A=-----------（9分）

a2=b2+c2-2bccosA，b2+c2≥2bc∴bc≤1-------------（12分）

∴S=bcsinA≤∴S的最大值为---------（14分）

（Ⅰ）：||==，

当n=时，||min==1，所以c=．（3分）

（Ⅱ）∵=λ （λ≠0），∴PE⊥直线x=，又||=||（a＞c＞0）．

∴点P在以F为焦点，x=为准线的椭圆上．（5分）

设P（x，y），则有=|-x|，点B（0-1）代入，解得a=．

∴曲线C的方程为 +y2=1                                       （7分）

（Ⅲ）假设存在方向向量为a0=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），

与椭圆+y2=1联立，消去y得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0．（10分）

由判别式△＞0，可得m2＜3k2+1．①

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN．

由韦达定理代入kBP=-，可得到m=               ②

联立①②，可得到  k2-1＜0，（12分）

∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．

即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且||=||．（14分）z

（1）由=(+)可得M为BC的中点（2分）

设B（x，y），则M（0，y），C（-x，0）（4分）

∵C为直角，故•=0

∵=(2x，y)，=(x，-8)

∴2x2-8y=0即x2=4y（5分）

B的轨迹曲线E的方程为x2=4y（（x≠0）6分）

（2）∵=

P是QN的中点

设Q（x1，y1），N（x2，y2），线段QN的 中点P（2，4）

设L：y-4=k（x-2）

方法一：则x12=4y1，x22=4y2

两式相减可得，4（y1-y2）=（x1-x2）（x1+x2）（8分）

∴直线l的斜率k===1（11分）

直线l的方程为y-4=x-2即x-y+2=0

方法二：联立直线与曲线方程可得x2-4kx+8k-16=0（*）

△=16（k2-2k+4）＞0，显然方程（*）有2个不相等的实数根（8分）

∴x1+x2=4k=4

∴k=1

∴直线L的方程为x-y+2=0（12分）