平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动（异于A、B两点）．

（Ⅰ）求证：•与点P在⊙O上的位置无关；

（Ⅱ）当与的夹角θ取何值时，•有最大值．

正确答案

证明：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，P为圆上一点，∴AP⊥BP，

∴⊥，则•=0，

∵P为MN的中点，且||=20，∴=，= ||=10，

∴•=（+）（+）=（-）（+）

=•+•-•-•

=（-）-100=•-100，

∴•仅与•的夹角有关，而与点P在⊙O上的位置无关；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

•=•-100=100cosθ-100，

∵0≤θ＜π，∴当θ=0时，•取最大值为0．

题型：简答题

简答题

已知两个向量=（1+log2|x|，log2|x|），=（log2|x|，t）（x≠0）．

（1）若t=1且⊥，求实数x的值；

（2）对t∈R写出函数f（x）=•具备的性质．

正确答案

（1）由已知得log22|x|+2log2|x|=0（2分）

log2|x|=0或log2|x|=-2（4分）

解得x=±1或x=±（6分）

（2）f（x）=log22|x|+（1+t）log2|x|=0（8分）

具备的性质：

①偶函数；

②当log2|x|= -即x=±21+t2时，

f（x）取得最小值-（写出值域为[ -，+m)也可）；

③单调性：在(0，2-1+t2]上递减，[2-1+t2，+m)上递增；

由对称性，在[-2-1+t2，0)上递增，在(-m，-2-1+t2]递减

题型：简答题

简答题

如图，在△ABC中，||=3，||=4，||=2，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求•的最大值和最小值．

正确答案

在△ABC中，cosA==-----------（2分）

•=(-)•(-)=(-)•(--)

2+(-)+•

2++•--------（6分）

∵

2=2，•=||•||cosA

=4×2×=5----------（8分）

∴•=-2+•+5=3+||•||cosθ

=3+3×cosθ=3+6cosθ---（10分）

当与方向相同时，•取得最大值9，此时与的方向相同；------（11分）

当与方向相反时，•取得最小值-3，此时与的方向相反------（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量=(，-1)，=(，)，

（I）求与平行的单位向量；

（II）设= +(t2+3)，=-k•t+，若存在t∈[0，2]使得⊥成立，求k的取值范围．

正确答案

（I）设向量=（x，y），

则有；

解可得或，

则=（，-）或（-，）；

（II）根据题意，易得||=2，||=1，且•=0；

由⊥可得-kt||2+（t2+3）||2=0，

即t2-4kt+3=0，

问题转化为方程t2-4kt+3=0在t∈[0，2]内有解，

则当t=0时，方程t2-4kt+3=0不成立，所以t≠0，

此时k=（t+）≥，当且仅当t=时取到等号，

故k的取值范围是[，+∞）．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（-t）•=0，求t的值．

正确答案

（1）（方法一）由题设知=(3，5)，=(-1，1)，则+=(2，6)，-=(4，4)．

所以|+|=2，|-|=4．

故所求的两条对角线的长分别为4、2．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=4、AD=2；

（2）由题设知：=（-2，-1），-t=(3+2t，5+t)．

由（-t）•=0，得：（3+2t，5+t）•（-2，-1）=0，

从而5t=-11，所以t=-．

或者：•=t

2，=(3，5)，t==-

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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